§ 40. Параллельные проекции плоских фигур

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ получить изображение фигуры на плоскости, проектируя её точки по параллельным прямым заданного направления. Иными словами, точки фигуры переносят к плоскости согласованно, без лучей, сходящихся в одном центре. Этот способ нужен, чтобы изображать пространственные объекты и исследовать, какие свойства их частей видны на плоском чертеже.

Направление проектирования — общее направление прямых, по которым точки фигуры переносятся на плоскость. Через каждую исходную точку проводят прямую именно этого направления. Оно определяет, куда сместится точка, поэтому при построении все проектирующие прямые должны быть параллельны друг другу.

Плоскость проекций — плоскость, на которой получают изображение фигуры. Проектирующая прямая пересекает эту плоскость, и место пересечения становится образом исходной точки. Выбор плоскости влияет на вид изображения: одна и та же фигура при разных плоскостях проекций может выглядеть по-разному.

Параллельная проекция точки — точка пересечения плоскости проекций с прямой, проходящей через исходную точку в направлении проектирования. Если исходную точку обозначить A, а её образ — A′, то запись A → A′ показывает, какую точку получили. Такое обозначение помогает различать исходные вершины фигуры и их изображения.

Как это устроено

Чтобы построить проекцию точки, через неё проводят прямую, параллельную направлению проектирования, и находят пересечение с плоскостью проекций. Именно эта прямая показывает путь, по которому точка переносится к плоскости. Если пересечение существует и единственно, оно задаёт единственный образ точки; так, исходной вершине A соответствует точка A′.

Проекция фигуры — это совокупность проекций всех точек, из которых она состоит. Для многоугольника не нужно отдельно отмечать каждую точку его сторон: достаточно построить образы вершин, потому что стороны переходят в отрезки между образами концов. Затем вершины соединяют в том же порядке, в каком они идут по исходной границе, иначе получится другой многоугольник.

Почему прямая обычно проецируется в прямую? Возьмём исходную прямую и проведём через её точки проектирующие прямые. Они лежат вместе с исходной прямой в одной плоскости, если направление проектирования не совпадает с её направлением. Пересечение этой плоскости с плоскостью проекций является прямой, поэтому образы исходных точек оказываются на одной линии.

Параллельные исходные прямые вместе с общим направлением проектирования задают параллельные плоскости. Каждая такая плоскость пересекает плоскость проекций по прямой, а линии пересечения параллельны, если проекции не вырождаются. Поэтому параллельные стороны фигуры обычно остаются параллельными и на чертеже; это позволяет восстанавливать недостающие вершины.

Проекция сохраняет некоторые отношения, но не все. Точки одной прямой переходят в точки одной прямой, параллельные прямые остаются параллельными в невырожденном случае, а отношение отрезков на одной прямой сохраняется. Это связано с тем, что преобразование вдоль параллельных линий изменяет положение точек согласованно. Однако расстояния и углы зависят от наклона фигуры к плоскости и направлению проектирования, поэтому обычно они меняются.

Что сохраняет параллельная проекция

Пользуясь таблицей, сначала определите, какое именно свойство требуется перенести с исходной фигуры на изображение. Для построения и доказательства опирайтесь на сохраняющиеся свойства, а длины и углы считайте неизменными только при наличии отдельного обоснования. Формулировки «обычно» и «в общем случае» напоминают о возможных вырожденных ситуациях.

Разбор задач

Построение проекции треугольника

Условие. Постройте параллельную проекцию треугольника ABC на заданную плоскость в указанном направлении. Заданы направление проектирования и плоскость, на которой нужно получить изображение. Требуется построить именно образ границы треугольника, а не менять порядок его вершин.

1. Через вершину A проведите прямую заданного направления до плоскости проекций и обозначьте точку пересечения A′. Такая конструкция по определению задаёт проекцию вершины.
2. Аналогично получите B′ и C′, каждый раз используя то же направление. Одинаковое направление необходимо, чтобы построение было параллельным проектированием.
3. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′. Порядок соединения повторяет границу исходного треугольника и даёт его проекцию.

Ответ. Искомое изображение — треугольник A′B′C′, построенный по трём проекциям вершин. Его стороны являются образами соответствующих сторон исходного треугольника. Длины и углы полученного треугольника не обязательно совпадают с исходными.

Проекция четвёртой вершины параллелограмма

Условие. Параллелограмм ABCD спроектирован на плоскость, известны проекции трёх вершин. Требуется найти проекцию четвёртой вершины. Обозначим известные образы A′, B′, C′, а искомый — D′.

1. В параллелограмме противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. При проектировании эти направления сохраняются в невырожденном случае.
2. Через C′ проведите прямую, параллельную A′B′: на ней должна лежать сторона C′D′. Через A′ проведите прямую, параллельную B′C′: на ней должна лежать сторона A′D′.
3. Отметьте точку пересечения проведённых прямых. Она удовлетворяет обоим условиям параллельности и потому является D′.

Ответ. Проекция четвёртой вершины — пересечение прямой через C′, параллельной A′B′, и прямой через A′, параллельной B′C′. Проверка состоит в том, что полученный четырёхугольник имеет обе пары противоположных сторон параллельными. Если изображение вырождено, обычное построение может потребовать отдельного рассмотрения.

Отношение отрезков на стороне треугольника

Условие. В треугольнике точка M делит сторону AB так, что AM:MB = 2:3. Нужно определить, как соответствующая точка M′ делит проекцию стороны A′B′. Здесь M′ — проекция точки M, а A′ и B′ — проекции концов стороны.

1. Поскольку M лежит на прямой AB, её образ M′ лежит на прямой A′B′. Значит, искать точку нужно именно на проекции стороны, а не на другой стороне изображения.
2. Параллельная проекция сохраняет отношение отрезков, лежащих на одной прямой. Поэтому отношение частей A′M′ и M′B′ равно исходному отношению AM и MB.
3. Подставьте известное отношение: AM:MB = 2:3, следовательно, A′M′:M′B′ = 2:3. Чтобы построить M′, разделите отрезок A′B′ на пять равных частей и отсчитайте две части от A′.

Ответ. Точка M′ делит A′B′ в отношении 2:3. Она расположена на расстоянии, равном 2/5 длины A′B′ от A′. Для вывода использовано сохранение отношения частей одной прямой, а не сохранение длин отдельных отрезков.

Типичные ошибки

Считать, что проекция отрезка всегда равна ему по длине. Это неверно: проектирование может изменить длину, поскольку точка переносится не обязательно перпендикулярно отрезку или на его направление. Ошибку допускают, когда изображение принимают за точную копию фигуры. Проверяйте, следует ли сохранение длины из условия; если такого основания нет, не приравнивайте длины.

Считать, что любой угол сохраняет величину. Угол между сторонами зависит от направлений их проекций, а эти направления могут измениться. На чертеже острый угол способен выглядеть тупым или наоборот. Чтобы проверить себя, не считывайте величину угла с картинки и не переносите её без отдельного доказательства.

Соединять проекции вершин многоугольника в случайном порядке. Тогда можно получить самопересекающуюся линию или фигуру с другой границей. Ошибка появляется, если записанные образы вершин воспринимают как произвольный набор точек. Сверяйте соединения с обходом исходного контура: после A′ должна идти проекция следующей вершины исходной фигуры.

Забывать о вырожденном случае. Прямая, параллельная направлению проектирования, может перейти в точку, поэтому утверждение «образ любой прямой — прямая» требует оговорки. Этот случай часто упускают, применяя правило без проверки расположения. Проверьте направление исходной прямой: если оно совпадает с направлением проектирования, её точки имеют одну проекцию.

Связь с другими темами

Для построения параллельных проекций нужны знания о прямых и плоскостях в пространстве, параллельности прямых и сечениях: они помогают проводить проектирующие прямые и находить пересечения. Такие проекции используют для изображения пространственных фигур на чертежах, в частности при изучении аксонометрических изображений. Сохранение параллельности и отношений отрезков пригодится при решении задач на подобие и при построении изображений многогранников.

Что запомнить

• Все проектирующие прямые параллельны одному заданному направлению.
• Образ точки — пересечение проектирующей прямой с плоскостью проекций.
• Образ многоугольника строят по проекциям его вершин.
• Прямолинейность и параллельность сохраняются в невырожденном случае.
• Отношения отрезков на одной прямой сохраняются.
• Длины и углы в общем случае не сохраняются.