§ 41. Изображение пространственных фигур

Определения и обозначения

Изображение пространственной фигуры — плоский чертёж, по которому передают форму фигуры и взаимное расположение её элементов. На нём отмечают вершины, проводят рёбра и показывают грани так, чтобы фигуру можно было узнать. Такое изображение нужно, чтобы рассуждать о пространственном объекте на листе бумаги.

Параллельное проектирование — способ построения изображения, при котором точки фигуры проецируют на плоскость параллельными прямыми. Эти прямые называют проектирующими; выбранное направление влияет на то, как будут выглядеть рёбра и грани. Способ позволяет согласованно переносить на чертёж разные части фигуры.

Изображение точки и отрезка получают, проектируя точку или концы отрезка на плоскость. Проекцией точки служит точка, а изображение отрезка строят соединением проекций его концов. Это правило помогает последовательно изображать рёбра многогранника.

Видимые и невидимые линии — линии фигуры, которые с выбранного направления наблюдения видны или закрыты другими частями. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, невидимые обычно изображают штриховыми. Такое обозначение помогает понять, как фигура расположена в пространстве.

Как это устроено

Пространственную фигуру нельзя целиком расположить на плоском листе без потери части информации, поэтому её изображают проекцией. Каждую точку переносят на плоскость вдоль прямой выбранного направления. Если изменить это направление, изменится и чертёж: одни рёбра станут заметнее, другие могут оказаться закрытыми или спроецироваться иначе. Поэтому направление выбирают так, чтобы основные грани и связи между элементами читались ясно.

При параллельном проектировании все проектирующие прямые имеют одно направление. Если две исходные прямые параллельны и не направлены так, чтобы их проекции совпали, их изображения также параллельны: проектирование одинаково переносит точки на обеих прямых. Отрезок делится на части в том же отношении, поскольку точки вдоль него перемещаются согласованно. В частности, точка, делящая отрезок пополам, переходит в середину изображения.

Чтобы построить многогранник, начинают с его главных элементов: оснований, вершин или наиболее заметных рёбер. Затем обозначают остальные вершины и соединяют только те пары точек, которые соединены рёбрами исходной фигуры. Такой порядок помогает не перепутать грани и не провести лишние линии. В конце проверяют, согласуются ли параллельные рёбра и видимость частей.

Проекция сохраняет некоторые отношения, но не обязана сохранять размеры и форму отдельных углов. Отрезок, направленный в глубину, может выглядеть короче, а прямой угол — острым или тупым. Причина в том, что точки фигуры переносятся на плоскость вдоль заданного направления, а не с сохранением расстояний. Поэтому равенство длин и величины углов устанавливают по условиям задачи и свойствам фигуры, а не на глаз по чертежу.

Видимость определяют с учётом положения наблюдателя и взаимного расположения граней. Если ребро не закрыто ближайшей к наблюдателю частью фигуры, его проводят сплошной линией; если оно находится за гранью, используют штриховую. Сначала полезно представить фигуру объёмной и определить, какая грань обращена к наблюдателю. Затем проверяют каждое ребро: принадлежит ли оно видимой части или скрыто за ней.

Что сохраняется при изображении параллельным проектированием

Таблица показывает, какие сведения можно надёжно считывать с изображения, а какие нельзя. При решении задачи используйте сохранённые свойства, например параллельность и положение середины. Длины и углы проверяйте по условию или доказывайте отдельно.

Разбор задач

Треугольная призма

Задача. Построить изображение треугольной призмы, если заданы её основания и боковые рёбра. Призма состоит из двух равных треугольных оснований, лежащих в параллельных плоскостях, и боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины. Нужно передать это устройство на плоском чертеже.

1. Обозначим вершины одного основания A, B, C и построим треугольник ABC. Его изображение выбираем так, чтобы стороны были различимы.
2. Рядом наметим изображение второго основания A₁B₁C₁. Оно должно соответствовать первому и быть расположено так, чтобы фигура воспринималась объёмной.
3. Соединим A с A₁, B с B₁ и C с C₁. Эти отрезки изображают боковые рёбра; на чертеже они должны быть параллельны друг другу, если не совпадают.
4. Проверим, что соединены именно соответствующие вершины, и обозначим скрытые рёбра штриховыми линиями. Не будем подгонять рисунок измерением длин: проектирование может их изменить.

Ответ: изображение призмы состоит из двух соответствующих треугольников и трёх соединяющих их рёбер; видимые линии проводят сплошными, скрытые — штриховыми.

Четырёхугольная пирамида

Задача. Изобразить четырёхугольную пирамиду и обозначить видимые и невидимые рёбра. У неё есть четырёхугольное основание, вершина вне плоскости основания и боковые рёбра, соединяющие вершину с вершинами основания. Нужно сначала передать состав фигуры, а затем определить видимость линий.

1. Построим четырёхугольник основания ABCD. Его изображение может быть параллелограммом или другой удобной проекционной формой, но оно должно сохранять порядок вершин.
2. Отметим вершину S вне изображения основания. Размещение выбираем так, чтобы боковые грани не сливались и рёбра можно было различить.
3. Проведём от S отрезки к A, B, C и D. Так получатся все боковые рёбра, а контур основания вместе с ними задаст грани пирамиды.
4. Представим, какая сторона обращена к наблюдателю. Рёбра, закрытые передней гранью, отметим штриховыми; остальные оставим сплошными, затем проверим, что проведены все четыре боковых ребра.

Ответ: построены четырёхугольное основание и четыре боковых ребра к вершине S; скрытые рёбра показаны штриховыми линиями.

Параллелепипед и середины рёбер

Задача. Изобразить параллелепипед, отметить середины двух рёбер и провести отрезок между ними. Здесь важно не пытаться восстановить реальные длины по рисунку: нужные точки задаются отношением к концам каждого ребра.

1. Построим параллелепипед, обозначив его вершины A, B, C, D и соответствующие вершины второго основания A₁, B₁, C₁, D₁. Проверим, что три направления рёбер изображены согласованно, а параллельные рёбра на чертеже остаются параллельными.
2. Выберем указанные рёбра и отметим на каждом его середину. Если ребро имеет концы A и B, середина M удовлетворяет AM = MB; на изображении M находится посередине отрезка AB.
3. Повторим построение для второго ребра, обозначив его середину, например, N. Середины можно найти по свойству проекции, поэтому не требуется измерять пространственные длины.
4. Соединим M и N прямой. Если отрезок проходит через скрытую часть фигуры, соответствующий участок покажем штриховым; иначе проведём его сплошной линией.

Ответ: середины отмечены как середины изображённых рёбер, а отрезок MN проведён между ними с учётом видимости. Его длину и наклон нельзя считать точным отражением пространственных величин.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что чертёж сохраняет длины и углы. На глаз это кажется естественным, потому что изображение выглядит как обычный рисунок фигуры, но проектирование может изменить и то и другое. Проверка: выясните, дано ли свойство в условии или следует ли оно из теоремы; не используйте измерение линейкой как доказательство.

Ошибка: изображать параллельные рёбра непараллельными. Так бывает, когда линии проводят «для объёма», не контролируя направление. При параллельном проектировании соответствующие параллельные прямые остаются параллельными либо совпадают. Проверьте направление рёбер по чертежу и при необходимости продлите их мысленно.

Ошибка: проводить все рёбра сплошными линиями. Иногда забывают, что часть многогранника закрыта его гранями, и тогда рисунок становится похож на набор несвязанных линий. Представьте, какая сторона обращена к наблюдателю, и проследите, какие рёбра скрыты за ней. Скрытые участки обозначьте штриховыми линиями.

Ошибка: делать вывод о равенстве отрезков по их виду. Отрезки могут казаться одинаковыми или разными из-за искажения при проектировании. Чтобы проверить себя, опирайтесь на заданные равенства, свойства фигуры и результаты доказательства. Внешний вид чертежа используйте для наглядности, а не как основание для вывода.

Связь с другими темами

Для чтения изображений нужно знать, что такое многогранник, его вершины, рёбра и грани, а также свойства параллельных прямых и отрезков. Эти понятия позволяют понять, какие линии следует провести и какие отношения между ними должны сохраниться. Изображения особенно пригодятся при изучении сечений многогранников: на чертеже можно проследить пересечение плоскости с гранями. Они также помогают решать задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей, но выводы в таких задачах нужно обосновывать геометрически.

Что запомнить

• Пространственную фигуру изображают на плоскости с помощью проекции.
• При параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых.
• Середина отрезка переходит в середину его изображения.
• Длины отрезков и величины углов на чертеже могут искажаться.
• Видимые рёбра показывают сплошными линиями, невидимые — штриховыми.
• Чертёж помогает представить фигуру, но не заменяет доказательство её свойств.