"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Сечение многогранника — многоугольник, который получается, когда плоскость пересекает его поверхность и внутреннюю часть. Его стороны лежат в гранях, а вершины обычно находятся на рёбрах. Построение сечения помогает увидеть, как плоскость проходит через объёмную фигуру, и решать задачи на площади, углы и расстояния. Чтобы построить его правильно, нужно переходить от одной грани к соседней и замкнуть контур.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сечение многогранника — многоугольник, полученный при пересечении многогранника плоскостью. Его стороны лежат в гранях многогранника, поэтому по сечению можно изучать часть поверхности, которую проходит плоскость. Это помогает перейти от объёмной фигуры к более наглядной плоской.
Секущая плоскость — плоскость, которая пересекает многогранник и образует его сечение. Она задаёт положение будущего многоугольника в пространстве. Чтобы построить сечение, нужно определить, где эта плоскость проходит через грани и рёбра.
След секущей плоскости в грани — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость этой грани. Часть следа, лежащая внутри грани, становится стороной сечения. Зная след, можно продолжить построение до рёбер и найти новые точки.
Вершина сечения — точка, где секущая плоскость пересекает ребро многогранника или где сходятся стороны сечения. Такие точки задают границы будущего многоугольника. По ним удобно проверять, правильно ли проведены стороны на соседних гранях.
Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой плоскости, содержащей его грань. Если провести через него секущую плоскость, пересечение тоже будет выпуклым: отрезок между любыми двумя точками сечения целиком останется внутри многогранника и плоскости. Поэтому контур сечения не может иметь вогнутых углов. Его вершины появляются там, где секущая плоскость пересекает рёбра, то есть границы соседних граней.
Каждая грань сама является частью плоскости, и две пересекающиеся плоскости имеют общей прямую. Поэтому секущая плоскость и плоскость грани задают след, а внутри самой грани остаётся только часть этого следа. Эта часть ограничена краями грани и образует сторону сечения. В точках перехода с одной грани на другую стороны встречаются на общем ребре, где и возникает вершина сечения.
Если заданы точки сечения, сначала выясни, какие из них принадлежат одной грани: через две такие точки можно провести след секущей плоскости в этой грани. Если известна только одна точка, требуется найти вторую по условию задачи — например, продолжив построение из соседней грани. Затем определи, где след пересекает рёбра, и перенеси найденные точки на следующую грань. На каждом шаге используй именно ту грань, к которой относится новый участок.
Параллельность помогает получить линии, которые нельзя сразу построить через две известные точки. Например, если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, её следы в этих гранях параллельны: они являются линиями пересечения одной плоскости с двумя параллельными плоскостями. Аналогично, параллельность рёбер или боковых граней призмы может подсказать направление недостающего следа. Это позволяет найти новые точки пересечения с рёбрами, не угадывая их положение.
После нахождения точек сечения их соединяют в порядке обхода граней многогранника. Такой порядок нужен потому, что каждые две соседние вершины должны быть соединены отрезком, лежащим в одной грани. Если соединить точки через весь рисунок напрямую, можно получить линию, которая не принадлежит поверхности фигуры. Замкнутый контур без самопересечений и с подходящими гранями подтверждает, что построение согласовано.
Пользуйся таблицей как маршрутом: начинай с данных условия, затем переходи от грани к грани по общим рёбрам. Обоснование в последнем столбце помогает понять, почему каждый шаг допустим. В конце проверь не только замкнутость контура, но и расположение каждой его стороны.
| Этап | Что сделать | На чём основано |
|---|---|---|
| Отметить заданные точки | Нанести точки на соответствующие рёбра или грани | Условие задачи и принадлежность точек плоскости |
| Провести след секущей плоскости в грани | Соединить две известные точки одной грани или использовать найденное направление | Пересечение двух плоскостей является прямой |
| Найти точки пересечения с рёбрами | Отметить места, где след пересекает стороны грани | Ребро ограничивает грань и соседствует с другой гранью |
| Продолжить построение на соседних гранях | Перенести точки через общие рёбра и построить следующие следы | Секущая плоскость одна и та же на всех гранях |
| Соединить вершины сечения и проверить результат | Обойти грани, замкнуть контур и сверить стороны | Граница сечения образует многоугольник |
Условие. В кубе заданы три точки на рёбрах. Требуется построить сечение плоскостью, проходящей через них. Точное положение рёбер и точек зависит от конкретного чертежа, поэтому маршрут построения определяют по граням, которым принадлежат эти точки.
Ответ. Искомое сечение — замкнутый многоугольник, стороны которого построены на гранях куба. Его конкретный вид зависит от того, на каких именно рёбрах расположены три точки. Проверка состоит в том, чтобы проследить каждую сторону по своей грани и убедиться, что все вершины лежат на рёбрах.
Условие. В тетраэдре нужно построить сечение плоскостью через точки, лежащие на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины. Обозначим общую вершину A, а точки на трёх рёбрах — P, Q и R. Каждая пара этих точек расположена на одной грани тетраэдра.
Ответ. Сечение — треугольник PQR. Его стороны лежат в трёх гранях, сходящихся у вершины A. Замкнутость здесь следует из того, что каждая пара точек определяет сторону в своей общей грани.
Условие. В треугольной призме заданы две точки на боковых рёбрах и одна точка на основании. Нужно построить сечение проходящей через них плоскостью. Точный контур зависит от расположения точек, но параллельность оснований и свойства боковых граней помогают продолжить построение.
Ответ. Сечение представляет собой многоугольник с вершинами на рёбрах призмы. Число его сторон определяется тем, какие именно рёбра пересекает секущая плоскость. Перед завершением проверь, что каждый отрезок относится к одной грани, а на параллельных основаниях следы параллельны.
Соединять заданные точки напрямую. Так поступают, когда ориентируются только на видимый рисунок и забывают о гранях. Но сторона сечения должна лежать в конкретной грани, иначе отрезок может пройти внутри многогранника не по его поверхности. Проверь для каждой пары соседних точек, есть ли грань, содержащая обе.
Считать внутреннюю точку грани вершиной сечения. Иногда любое пересечение линии с гранью принимают за вершину многоугольника. Однако вершины появляются на границах граней — обычно на рёбрах, где меняется плоскость, в которой лежит сторона. Проверь, что точка находится на ребре или в вершине исходного многогранника.
Продолжать отрезок через ребро, не переходя на соседнюю грань. Ошибка возникает, если воспринимать границу грани как продолжение того же участка. За ребром поверхность уже принадлежит другой грани, и её след нужно построить заново, учитывая общую точку или направление. Проверь, что каждый новый отрезок действительно лежит в плоскости соответствующей грани.
Оставлять контур незамкнутым или самопересекающимся. При построении отдельных следов легко потерять порядок обхода граней. Но сечение выпуклого многогранника должно быть выпуклым многоугольником, а его граница — замкнутой ломаной без пересечений. Проследи маршрут по соседним граням и проверь, что последняя сторона возвращает к начальной вершине.
Для построения сечений нужны знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве и о признаках параллельности. Параллельность помогает проводить недостающие следы, а планиметрия даёт способы строить прямые, многоугольники и их пересечения. Построенное сечение затем используют в стереометрических задачах на расстояния, углы и площади фигур в пространстве. Поэтому важно не только получить контур, но и обосновать, в каких гранях лежат его стороны.
Почему сечение многогранника всегда является многоугольником?
Граница многогранника состоит из плоских многоугольных граней. Секущая плоскость пересекает каждую грань по отрезку или не пересекает её вовсе, а конечное число таких отрезков образует замкнутую ломаную. Поэтому сечение выпуклого многогранника является многоугольником.
Где могут находиться вершины сечения?
Вершины сечения находятся на рёбрах многогранника, в местах, где плоскость пересекает границу граней. Если плоскость проходит через вершину самого многогранника, эта вершина тоже может стать вершиной сечения.
Как найти сторону сечения на грани, если известна только одна точка?
Одной точки недостаточно, чтобы однозначно провести след секущей плоскости в грани: нужна ещё точка этой плоскости или иное условие, например параллельность известной прямой. Если вторую точку удаётся найти на ребре или получить из соседней грани, через две точки проводят след и определяют его часть внутри грани.
Как использовать параллельность граней при построении сечения?
Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, линии пересечения на них параллельны. Это позволяет через известную точку провести на второй грани прямую, параллельную уже найденному следу, и найти её пересечения с рёбрами.
Как проверить, что построенный многоугольник действительно является сечением?
Проверьте, что каждая сторона лежит в грани многогранника, а каждая вершина находится на ребре или в вершине многогранника. Затем проследите обход по соседним граням: контур должен замкнуться без пересечений и соответствовать одной секущей плоскости.
§ 42. Сечения многогранников
