§ 43. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых

Определения и обозначения

Угол между прямыми — величина меньшего из углов, образованных пересекающимися прямыми, параллельными данным. Такое определение позволяет сравнивать направления прямых даже тогда, когда они не имеют общей точки. Для любых двух прямых в пространстве угол можно свести к углу между пересекающимися.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через одну точку параллельно исходным. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому непосредственно измерить угол при их пересечении нельзя. Определение даёт способ всё же сравнить их направления.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. Это понятие распространяется и на скрещивающиеся прямые: для них прямой угол получают между параллельными им пересекающимися прямыми. По определению можно проверить перпендикулярность, даже если сами прямые не встречаются.

Угол между параллельными прямыми равен 0°. Параллельные прямые имеют одинаковое направление, поэтому после проведения через одну точку они совпадают. Это частный случай общего определения угла между прямыми.

Как это устроено

Если прямые пересекаются, нужный угол уже можно увидеть в точке пересечения: отдельное построение не требуется. При пересечении возникают смежные и вертикальные углы, поэтому возможны значения, например, 60° и 120°. Угол между прямыми характеризует их взаимное направление, а не выбранную область плоскости, поэтому из пары таких значений берут меньшее.

У скрещивающихся прямых общей точки нет, а значит, нет и вершины, в которой можно было бы измерить угол. Выберем точку и проведём через неё по прямой параллельно каждому исходному направлению. Построенные прямые пересекутся в выбранной точке, и угол между ними станет углом между скрещивающимися прямыми. Так пространственную ситуацию удаётся заменить знакомой задачей о пересекающихся прямых.

Точку для построения разрешено выбирать произвольно, потому что параллельные прямые сохраняют направление исходных. Если перенести точку, новые прямые останутся параллельными прежним построенным прямым, а величина угла между параллельными направлениями не изменится. Поэтому разные корректные построения дают один и тот же ответ, хотя сами отрезки на чертеже могут выглядеть по-разному.

Меньший угол между прямыми не превосходит 90°: если один из образованных углов тупой, смежный с ним угол острый и меньше. Если углы прямые, оба равны 90°. Это ограничение удобно для вычислений и сравнения прямых: результат всегда выбирают из промежутка от 0° до 90°, а не принимают, например, 120° за угол между прямыми.

Перпендикулярность определяется не тем, как прямые расположены на рисунке, а величиной угла между ними. Если этот угол равен 90°, прямые перпендикулярны; если нет — не перпендикулярны. Для скрещивающейся пары сначала строят пересекающиеся параллели, а затем проверяют полученный угол, поэтому отсутствие общей точки не мешает применить определение.

Случаи расположения прямых и угол между ними

Сначала определите взаимное расположение прямых: от этого зависит, нужно ли дополнительное построение. Затем найдите меньший угол и сравните его с 90°. Таблица показывает, что перпендикулярность определяется углом, а не обязательным наличием точки пересечения.

Разбор задач

Задача 1

Две пересекающиеся прямые образуют угол 120°. Найдите угол между ними. Здесь число 120° описывает один из образованных углов, но по определению нужно выбрать меньший. Поэтому сравним его со смежным углом, который вместе с ним составляет 180°.

1. Найдём смежный угол: 180° − 120° = 60°.
2. Сравним два значения: 60° меньше 120°.
3. Выберем меньший угол как угол между прямыми.

Ответ: 60°.

Задача 2

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AC и BB₁. Прямые скрещиваются, поэтому искать их общую точку бесполезно. Заменим BB₁ параллельной ей прямой, проходящей через A: в кубе такой прямой является AA₁. Теперь задача сводится к углу между AC и AA₁.

1. Заметим, что BB₁ и AA₁ — параллельные рёбра куба.
2. Проведём через точку A прямую AA₁, параллельную BB₁.
3. Рассмотрим угол между AC и AA₁; он равен углу между исходными скрещивающимися прямыми.
4. В грани ACC₁A₁ диагональ AC₁ образует с вертикальным ребром AA₁ угол, но требуется именно AC; отрезок AC лежит в основании, а AA₁ перпендикулярно плоскости основания.

Следовательно, AC и AA₁ перпендикулярны. Это позволяет найти искомый угол, не строя скрещивающиеся прямые в общей точке: достаточно воспользоваться перпендикулярностью ребра плоскости основания. Ответ: 90°.

Задача 3

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ даны AB = 3, BC = 4, AA₁ = 12. Найдите угол между AC₁ и BB₁. Прямые AC₁ и BB₁ скрещиваются, поэтому заменим BB₁ параллельным ребром AA₁, проходящим через A. Теперь рассматриваем угол между диагональю AC₁ и отрезком AA₁.

1. Найдём диагональ основания AC: AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 25, значит, AC = 5.
2. В прямоугольном треугольнике ACC₁ вычислим AC₁: AC₁² = AC² + AA₁² = 5² + 12² = 169, поэтому AC₁ = 13.
3. Для угла α между AC₁ и AA₁ используем косинус: cos α = AA₁ / AC₁ = 12/13.
4. Следовательно, α = arccos(12/13), что приблизительно равно 22,6°.

Ответ: arccos(12/13) ≈ 22,6°. Подстановка в косинус использует прилежащий катет и гипотенузу прямоугольного треугольника ACC₁.

Типичные ошибки

• Считать углом между прямыми любой из четырёх образованных углов, не выбирая меньший. Так поступают, если забывают, что угол должен характеризовать направление пары, а не конкретный сектор. Проверьте себя: выбранная величина не должна превышать 90°.

• Пытаться найти точку пересечения скрещивающихся прямых. Это невозможно по определению скрещивающихся прямых, хотя на плоском рисунке они могут выглядеть пересекающимися. Проверьте расположение в пространстве и замените одну прямую параллельной ей, проведённой через точку другой.

• Провести через выбранную точку прямую, которая не параллельна одной из исходных. Тогда полученный угол относится к другому направлению и не является углом между заданными прямыми. Перед вычислениями проверьте, что обе построенные прямые действительно параллельны соответствующим исходным.

• Путать перпендикулярность прямых с перпендикулярностью прямой и плоскости. Это разные отношения: в одном случае сравнивают две прямые, в другом — прямую и плоскость. Чтобы проверить себя, назовите объекты и уточните, о каком угле идёт речь; здесь перпендикулярность прямых означает угол 90° между ними.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно знать, как в пространстве располагаются прямые: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Также понадобятся свойства углов при пересечении прямых, в частности смежных и вертикальных углов, и умение проводить параллельные прямые. Эти знания позволяют корректно построить угол и выбрать его меньшую величину.

Тема связана с признаками перпендикулярности: сначала строят нужные пересекающиеся прямые, а затем проверяют прямой угол. Понятие угла между прямыми понадобится при изучении перпендикулярности прямой и плоскости, двугранных углов и вычислений в многогранниках. В задачах о кубах и параллелепипедах оно помогает свести пространственное положение к треугольнику и вычислить угол.

Что запомнить

• Угол между прямыми в пространстве — меньший угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
• Для пересекающихся прямых угол находят непосредственно в точке пересечения.
• Для скрещивающихся прямых через одну точку проводят параллельные им прямые.
• Величина угла не зависит от выбора точки построения.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.