"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. На практике это проверяют по двум пересекающимся прямым. Ортогональное проектирование переносит точки на плоскость по перпендикулярам; так получают проекции фигур, наклонных и отрезков. Эти понятия помогают находить расстояния и углы в пространственных задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Это обозначают так: a ⟂ α. Иными словами, прямая образует прямой угол с любым направлением плоскости в общей точке.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Признак заменяет проверку бесконечного числа прямых проверкой двух удобно выбранных.
Ортогональная проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра, проведённого из точки к этой плоскости. Чтобы получить проекцию отрезка, проектируют обе его конечные точки и соединяют основания перпендикуляров. Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой самой плоскости и не являющийся перпендикуляром. Основание перпендикуляра обозначим H, а конец наклонной в плоскости — B: тогда HB является проекцией наклонной AB. Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник вместе с перпендикуляром AH.
Проверять перпендикулярность одной прямой всем прямым плоскости отдельно невозможно: таких прямых бесконечно много. Но в плоскости через выбранную точку можно задать два пересекающихся направления. Если прямая перпендикулярна обоим, её направление не имеет составляющей ни вдоль одного, ни вдоль другого направления плоскости. Поэтому она перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения.
Пусть точка A находится вне плоскости α. Перпендикуляр AH проводят из A к α, а H называют его основанием; через заданную точку можно провести только один такой перпендикуляр. Если выбрать другую точку B плоскости и соединить её с A, получится наклонная AB. Точка H и точка B лежат в α, поэтому отрезок HB лежит в плоскости и является проекцией наклонной.
Перпендикуляр AH перпендикулярен каждому отрезку плоскости, проходящему через H, в частности HB. Поэтому AHB — прямоугольный треугольник с прямым углом H, и AB² = AH² + HB². Проекция наклонной обычно короче самой наклонной, поскольку AB является гипотенузой этого треугольника.
Проекция отрезка получается из проекций его концов, потому что при движении точки от одного конца отрезка к другому её основание перпендикуляра движется по отрезку или его части в плоскости. Для произвольной фигуры такой порядок задаётся точками: проектируют каждую точку и собирают все полученные основания. Если фигура перпендикулярна плоскости проектирования, её проекция может выродиться в точку или отрезок.
Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную с её проекцией. Если c лежит в α и проходит через H, то AB ⟂ c тогда и только тогда, когда HB ⟂ c. Это позволяет заменить пространственную проверку AB ⟂ c более простой проверкой двух прямых в плоскости α.
Ортогональная проекция сохраняет принадлежность: если точка лежит на прямой или плоскости, её проекция лежит на соответствующей проекции. Однако длина и угол обычно меняются, потому что часть пространственного направления, перпендикулярная плоскости, исчезает. Поэтому по чертежу проекции нельзя без доказательства заключать, что исходные отрезки равны или перпендикулярны.
В таблице собраны определения и основные способы проверки. При решении задачи сначала определите, какие точки и прямые принадлежат плоскости, затем выберите подходящий признак или теорему. Особое внимание обращайте на основание перпендикуляра: через него проходит проекция наклонной.
| Понятие или утверждение | Условие построения или проверки | Главное следствие |
|---|---|---|
| Прямая, перпендикулярная плоскости | Прямая перпендикулярна каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения | Обозначение a ⟂ α; прямая образует прямой угол с любым направлением плоскости |
| Признак перпендикулярности прямой и плоскости | Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости | Прямая перпендикулярна всей плоскости |
| Перпендикуляр из точки к плоскости | Через точку проведён отрезок, перпендикулярный плоскости | Единственность перпендикуляра и ближайшая к точке точка плоскости |
| Наклонная и её проекция | Наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой плоскости; проекция соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной | Перпендикуляр, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник |
| Теорема о трёх перпендикулярах | Проекция наклонной перпендикулярна прямой плоскости | Сама наклонная перпендикулярна этой прямой, и наоборот |
| Ортогональная проекция фигуры | Через каждую точку фигуры проводят перпендикуляр к плоскости проектирования | Получается множество оснований этих перпендикуляров |
Докажем, что прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна всей этой плоскости. Пусть a ⟂ b и a ⟂ c, где b и c лежат в α и пересекаются в точке O. Требуется доказать a ⟂ α.
Ответ: a ⟂ α.
Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Известно, что AH = 6 см, HB = 8 см. Нужно найти длину наклонной AB.
Ответ: 10 см.
В плоскости α лежит прямая c. Наклонная AB имеет проекцию HB на α, причём HB ⟂ c. Докажем, что AB ⟂ c. Для применения теоремы нужно проверить положение прямой c относительно основания перпендикуляра.
Ответ: AB ⟂ c.
Ошибка: считать прямую перпендикулярной плоскости после проверки только одной прямой плоскости. Её допускают, потому что в плоской геометрии одного прямого угла иногда достаточно для построения, но в пространстве направлений больше. Проверьте две пересекающиеся прямые плоскости или используйте полное определение.
Ошибка: путать перпендикуляр к плоскости с наклонной. Перпендикуляр образует с плоскостью прямой угол, а наклонная пересекает её под непрямым углом. Проверьте, является ли данный отрезок кратчайшим от точки до плоскости и перпендикулярен ли он двум пересекающимся прямым плоскости.
Ошибка: называть проекцией наклонной саму наклонную или отрезок между произвольными точками. Проекция соединяет основание перпендикуляра H с концом наклонной B, то есть это HB. На чертеже сначала найдите основание перпендикуляра, а уже затем проведите отрезок к B.
Ошибка: применять теорему о трёх перпендикулярах без проверки условий. Прямая должна лежать в плоскости и проходить через основание перпендикуляра, иначе связь с проекцией не установлена. Перед применением теоремы подпишите α, H, проекцию и убедитесь, что H принадлежит рассматриваемой прямой.
Для этой темы нужны определения прямой и плоскости, свойства перпендикулярных прямых, угол между прямыми и теорема Пифагора. Она продолжает пространственную геометрию: помогает изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, расстояние от точки до плоскости и расстояние между скрещивающимися прямыми. Позже перпендикулярность и проекции пригодятся при вычислении расстояний и углов в многогранниках, построении сечений и решении задач на ортогональные проекции.
Почему для доказательства перпендикулярности плоскости достаточно двух прямых?
Две пересекающиеся прямые задают все направления плоскости в точке их пересечения. Если прямая перпендикулярна обеим, она перпендикулярна и любому направлению плоскости, поэтому перпендикулярна всей плоскости.
Чем перпендикуляр отличается от наклонной?
Перпендикуляр к плоскости образует с ней прямой угол. Наклонная тоже соединяет точку вне плоскости с точкой плоскости, но не перпендикулярна плоскости.
Что именно является проекцией отрезка на плоскость?
Нужно спроектировать на плоскость обе его конечные точки. Отрезок, соединяющий получившиеся основания перпендикуляров, и есть ортогональная проекция исходного отрезка.
Когда можно применять теорему о трёх перпендикулярах?
Наклонная должна иметь проекцию на плоскость, а рассматриваемая прямая должна лежать в этой плоскости и проходить через основание перпендикуляра. Тогда наклонная перпендикулярна этой прямой тогда и только тогда, когда перпендикулярна её проекция.
Сохраняются ли при ортогональном проектировании длины и углы?
В общем случае нет: длины могут уменьшаться, а углы изменяться. При проектировании сохраняется принадлежность точек соответствующим проекциям прямых и плоскостей; длина сохраняется только в особых случаях.
§ 44. Перпендикулярность прямой и плоскости. Ортогональное проектирование
