"Математика. 10 класс. (базовый уровень)", Мордкович А.Г., Смирнова И.М.
Перпендикуляр и наклонная помогают описывать, как прямая связана с плоскостью, а проекция показывает, как наклонная «ложится» на эту плоскость. Эти понятия нужны, чтобы находить расстояние от точки до плоскости и решать задачи о пространственных фигурах. Главное — увидеть прямоугольный треугольник: его катеты образуют перпендикуляр и проекция наклонной, а гипотенуза является самой наклонной. Угол между прямой и плоскостью тоже определяется с помощью проекции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — прямая, пересекающая плоскость под прямым углом. Если из точки S вне плоскости α проведён перпендикуляр, его основание обозначают H, а отрезок SH называют перпендикуляром. Такое обозначение помогает указать кратчайшее расстояние от точки до плоскости.
Наклонная к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярна ей. Например, если точка A лежит в α, то SA — наклонная из S к этой плоскости. Понятие наклонной позволяет сравнивать разные пути от точки до плоскости.
Проекция наклонной — отрезок плоскости, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной, лежащим в плоскости. Для наклонной SA с основанием перпендикуляра H её проекция — HA. Она нужна, чтобы связать наклонную с прямоугольным треугольником и вычислять длины.
Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Для наклонной SA её проекция — HA, поэтому угол между SA и α обозначают углом SAH. Это определение позволяет измерять наклон прямой к плоскости обычным углом.
Через точку S, не лежащую в плоскости α, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой плоскости. Единственность означает, что направление «под прямым углом» задаётся самой плоскостью: двух разных таких направлений из одной точки быть не может. Точку пересечения перпендикуляра с плоскостью называют основанием и обозначают H, поэтому перпендикуляр записывают SH.
Возьмём наклонную SA, где A лежит в плоскости, и проведём перпендикуляр SH к той же плоскости. Отрезок HA является проекцией наклонной, а SH перпендикулярен любой прямой плоскости, проходящей через H, в том числе HA. Значит, треугольник SHA прямоугольный при H: проекция HA и перпендикуляр SH — его катеты, а наклонная SA — гипотенуза.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета, поэтому SA больше SH и HA. Это объясняет, почему перпендикуляр — кратчайший отрезок от S до плоскости: любой другой отрезок к плоскости будет наклонной. При фиксированном SH наклонная тем длиннее, чем больше её проекция, поскольку SA² = SH² + HA².
Угол между наклонной SA и плоскостью α определяют как угол между SA и её проекцией HA, то есть ∠SAH. Такой выбор показывает наклон прямой относительно самой плоскости, а не относительно перпендикулярного к ней направления. Если прямая лежит в плоскости, угол равен 0°, а для перпендикуляра — 90°.
Когда известны два элемента прямоугольного треугольника SHA, третий можно найти по теореме Пифагора: SA² = SH² + HA². Для угла φ = ∠SAH синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin φ = SH/SA; косинус равен HA/SA, а тангенс — SH/HA. Поэтому по длинам можно найти угол, а по углу и одной длине — нужный отрезок.
| Объект | Как расположен относительно плоскости | Как обозначается или строится | Основное свойство |
|---|---|---|---|
| Перпендикуляр | Пересекает плоскость под углом 90° | SH, где H — основание | Даёт кратчайшее расстояние от точки до плоскости |
| Наклонная | Пересекает плоскость, но не под прямым углом | SA, где S вне плоскости, A в ней | В треугольнике SHA является гипотенузой |
| Проекция наклонной | Лежит в плоскости | HA: от основания H до точки A | Вместе с перпендикуляром образует катет прямоугольного треугольника |
| Угол между прямой и плоскостью | Задаётся наклонной и её проекцией | ∠SAH | Равен углу наклонной с её проекцией |
| Связь длин перпендикуляра, проекции и наклонной | Отрезки образуют прямоугольный треугольник | SH, HA и SA | SA² = SH² + HA²; наклонная длиннее каждого катета |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какие точки лежат в плоскости, а какая находится вне её. Затем обозначьте основание перпендикуляра: оно помогает построить проекцию и выделить прямоугольный треугольник. По свойству из последнего столбца выберите формулу для вычислений или сравнения отрезков.
Из точки S к плоскости α проведены перпендикуляр SH и наклонная SA; H и A лежат в плоскости, SH = 6 см, HA = 8 см. Найдите SA и угол между SA и плоскостью α. Проекция наклонной SA — HA, поэтому искомый угол находится при A в прямоугольном треугольнике SHA.
Угол можно проверить и через sin φ = SH/SA = 6/10 = 0,6. Полученное значение около 37° согласуется с отношениями в прямоугольном треугольнике. Ответ: SA = 10 см, угол между SA и α — примерно 37°.
Наклонная AB к плоскости α имеет длину 13 см, её проекция HB равна 5 см. Найдите расстояние от точки A до плоскости и тангенс угла между наклонной и плоскостью. Здесь H — основание перпендикуляра, опущенного из A, поэтому треугольник AHB прямоугольный при H.
При вычислении расстояния выбираем положительный корень, поскольку длина отрезка не бывает отрицательной. Тангенс выражен через катеты, прилежащий и противолежащий искомому углу. Ответ: расстояние равно 12 см, tg φ = 2,4.
Из точки S к плоскости α проведены две наклонные SA и SB. Их проекции HA и HB равны соответственно 6 см и 10 см, а длина SA равна 10 см. Сравните длины наклонных и найдите SB. Так как обе наклонные выходят из S, их общий перпендикуляр — SH.
Сравнение можно сделать и до вычисления SB: при одинаковом перпендикуляре большая проекция соответствует большей наклонной. Здесь HB = 10 см больше HA = 6 см, поэтому SB должна быть длиннее SA. Ответ: SB = 2√41 см, наклонная SB длиннее SA.
Угол между прямой и плоскостью иногда принимают за угол прямой с перпендикуляром к плоскости. Так путают два разных направления и получают дополнительный угол вместо угла наклона. Проверьте себя: найдите проекцию прямой, затем обозначьте угол между ней и прямой.
Наклонную и её проекцию можно спутать из-за общих точек и похожих обозначений. Но наклонная выходит из точки вне плоскости, а её проекция целиком лежит в плоскости. Перед вычислениями отметьте, какой отрезок выходит из плоскости, а какой соединяет точки внутри неё.
Теорему Пифагора нельзя применять к любому треугольнику только потому, что в нём есть перпендикуляр. Ошибку допускают, не проверив, что второй катет лежит в плоскости и проходит через основание перпендикуляра. Убедитесь, что перпендикуляр действительно образует с этим катетом угол 90°.
Наклонная не может быть короче своей проекции или равна ей, если она действительно наклонная. Это противоречит тому, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета. Сверьте результат с неравенствами SA > SH и SA > HA; равенство возможно лишь в вырожденном случае, когда треугольник перестаёт быть обычным.
Для работы с темой нужны определения перпендикулярных прямых и плоскостей, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса помогают находить углы и стороны по известным данным. Эти навыки пригодятся при вычислении расстояния от точки до плоскости и решении задач о пространственных фигурах. Понятие угла между прямой и плоскостью также используют при изучении углов между плоскостями, расстояний и сечений многогранников.
Почему угол между прямой и плоскостью считают по её проекции?
Проекция показывает направление прямой внутри плоскости. Поэтому угол между прямой и её проекцией измеряет, насколько прямая наклонена к плоскости. Угол с перпендикуляром к плоскости для этой цели не подходит.
Как отличить наклонную от перпендикуляра к плоскости?
Обе прямые пересекают плоскость, но перпендикуляр образует с ней прямой угол. Наклонная пересекает плоскость под другим углом. В треугольнике с перпендикуляром наклонная будет гипотенузой.
Почему перпендикуляр является кратчайшим расстоянием до плоскости?
Перпендикуляр вместе с любой наклонной и её проекцией образует прямоугольный треугольник. В нём наклонная — гипотенуза, поэтому она длиннее перпендикуляра. Значит, кратчайший отрезок от точки до плоскости — перпендикуляр.
Можно ли найти длину наклонной, если известны перпендикуляр и её проекция?
Да. Эти отрезки — катеты прямоугольного треугольника, поэтому длина наклонной вычисляется по теореме Пифагора: l² = h² + p². Здесь h — перпендикуляр, а p — проекция.
Как сравнить две наклонные, если известны их проекции?
Если наклонные проведены из одной точки, их перпендикуляр к плоскости общий. По теореме Пифагора большая проекция соответствует большей наклонной. При равных проекциях наклонные равны.
§ 45. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью
