§ 38. Параллельность двух плоскостей

Определения и обозначения

Параллельные плоскости — две плоскости, которые не пересекаются и не имеют общих точек. Их обозначают, например, α ∥ β. Это понятие помогает описывать взаимное расположение плоскостей в пространстве и обосновывать, почему они не встречаются.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. «Соответственно» означает, что каждой прямой первой плоскости поставлена в пару параллельная ей прямая второй. Признак позволяет доказать параллельность плоскостей через более привычную параллельность прямых.

Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые, по которым происходит пересечение, параллельны. Это свойство связывает расположение плоскостей с расположением прямых на чертеже. Оно помогает находить параллельные линии и доказывать их параллельность.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, проведённого от точки одной плоскости к другой. Перпендикуляр пересекает вторую плоскость под прямым углом, поэтому его длина показывает кратчайшее расстояние между плоскостями. Эта длина не зависит от того, какую точку первой плоскости выбрали.

Как это устроено

Рассмотрим две различные плоскости. Если у них есть общая точка, то через неё проходит линия, по которой плоскости пересекаются: общие точки образуют прямую. Другого варианта для двух различных плоскостей нет, поэтому они либо пересекаются по прямой, либо не имеют общих точек. Второй случай и называют параллельностью плоскостей; совпадающие плоскости здесь не рассматриваются, поскольку они не являются различными.

Чтобы применить признак, в первой плоскости выбирают две пересекающиеся прямые, а во второй — тоже две пересекающиеся прямые. Затем проверяют параллельность соответствующих пар: a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Две пересекающиеся прямые задают направления плоскости в разных направлениях, поэтому совпадение обоих направлений исключает ситуацию, когда плоскости пересекаются под углом. Именно поэтому условие о пересечении прямых в каждой плоскости обязательно.

Пусть параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым m и n. Обе линии лежат в γ, то есть их можно рассматривать как прямые одной плоскости. Если бы m и n пересеклись, точка пересечения принадлежала бы одновременно α и β, что невозможно для параллельных плоскостей. Значит, прямые не пересекаются; в одной плоскости такие прямые параллельны.

Перпендикуляры, проведённые к одной и той же плоскости, параллельны между собой. Поэтому перпендикуляры из разных точек плоскости α к параллельной плоскости β направлены одинаково. Соединим точки, из которых они опущены, и основания перпендикуляров: отрезки в α и β параллельны, а сами перпендикуляры тоже параллельны. Получается параллелограмм, у которого противоположные стороны равны, следовательно, длины перпендикуляров одинаковы.

В пространственном чертеже параллельность плоскостей часто позволяет получить параллельность прямых: достаточно найти плоскость, пересекающую обе, и применить свойство сечения. Так можно обосновать параллельность рёбер или линий сечения, не полагаясь на то, как они выглядят на рисунке. При задачах на расстояние нужно отыскать отрезок, перпендикулярный плоскостям, а не просто соединяющий их точки. Его длина и будет искомым расстоянием.

Параллельные плоскости: признак, свойства и расстояние

Используйте таблицу как схему выбора: сначала найдите условие, которое дано в задаче, затем прочитайте соответствующий вывод. Для признака проверьте не только параллельность пар прямых, но и то, что прямые пересекаются в каждой плоскости. При поиске расстояния убедитесь, что выбранный отрезок перпендикулярен плоскостям.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α проведены пересекающиеся прямые a и b, а в плоскости β — пересекающиеся прямые a₁ и b₁. Известно, что a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β. Искомый вывод совпадает с заключением признака параллельности плоскостей, поэтому прежде всего проверим его условия.

1. В плоскости α прямые a и b пересекаются — это дано.
2. В плоскости β прямые a₁ и b₁ также пересекаются — это дано.
3. Соответствующие прямые параллельны: a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Значит, выполнены все условия признака, поэтому α ∥ β.

Ответ: α ∥ β. Обратите внимание: без пересечения каждой пары прямых признак применить было бы нельзя. Здесь не требуется отдельно исследовать чертёж — достаточно проверить все условия теоремы.

Задача 2. Параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью γ по прямым m и n. Докажите, что m ∥ n. Обе прямые принадлежат плоскости γ, поэтому они либо пересекаются, либо параллельны. Проверим, может ли произойти пересечение.

1. Предположим, что m и n пересекаются в точке P.
2. Так как m — линия пересечения α и γ, точка P принадлежит α. Так как n — линия пересечения β и γ, та же точка принадлежит β.
3. Получается общая точка у α и β, но параллельные плоскости общих точек не имеют. Значит, m и n не пересекаются, а поскольку лежат в γ, они параллельны.

Ответ: m ∥ n. Такой способ доказательства удобен: сначала устанавливают, что линии лежат в одной плоскости, затем исключают их пересечение с помощью условия о параллельности исходных плоскостей.

Задача 3. Две параллельные плоскости пересечены плоскостью γ. На прямой пересечения с первой плоскостью отмечена точка A, а из неё к другой плоскости проведён перпендикуляр AB длиной 7 см. Найдите расстояние между плоскостями. Для определения расстояния не нужно искать ещё одну точку: уже дан отрезок, соединяющий плоскости под прямым углом.

1. Точка A лежит в первой плоскости, а точка B — во второй, поскольку B является точкой пересечения перпендикуляра с этой плоскостью.
2. По условию AB перпендикулярен второй плоскости. Значит, AB — перпендикуляр между плоскостями.
3. Расстояние между параллельными плоскостями равно длине такого перпендикуляра. Следовательно, расстояние равно 7 см.

Ответ: 7 см. Если бы вместо AB был дан наклонный отрезок, его длины для ответа было бы недостаточно: сначала понадобилось бы определить длину перпендикуляра.

Типичные ошибки

Считать плоскости параллельными только потому, что на рисунке они не пересекаются, — ненадёжно. Чертёж показывает лишь выбранное изображение и не доказывает отсутствие общих точек. Ошибку допускают, когда зрительно оценивают пространственную фигуру; проверьте себя: есть ли в условии доказательство или признак, а не только картинка?

Применять признак, если выбранные прямые в одной из плоскостей не пересекаются, нельзя. Условие требует пересечения двух прямых в каждой плоскости, а параллельность пар сама по себе его не заменяет. Проверьте точки пересечения отдельно для обеих плоскостей, прежде чем делать вывод.

Параллельность одной пары прямых, лежащих в разных плоскостях, не означает параллельность самих плоскостей. Через параллельные прямые могут проходить плоскости, которые пересекаются. Чтобы не сделать лишний вывод, убедитесь, что нашли две пересекающиеся прямые в каждой плоскости и установили параллельность обеих соответствующих пар.

Любой отрезок между точками разных плоскостей ошибочно принимать за расстояние. Наклонный отрезок соединяет плоскости, но не измеряет кратчайшее расстояние между ними. Ошибку легко проверить: найдите, образует ли отрезок прямой угол с плоскостью; если нет, это не перпендикуляр и не искомое расстояние.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны представления о взаимном расположении прямых и плоскостей, а также признаки параллельности прямых в пространстве. При решении задач пригодятся определение перпендикуляра к плоскости и свойства параллельных прямых. Дальше параллельность плоскостей помогает изучать расстояния и углы в пространстве и доказывать пространственные теоремы. Особенно полезно это свойство в задачах, где прямые возникают как линии пересечения плоскостей.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Для признака достаточно двух пересекающихся прямых в каждой плоскости, попарно параллельных.
• Сечение параллельных плоскостей третьей плоскостью даёт параллельные прямые.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряют по перпендикуляру.
• Все перпендикуляры между одной парой параллельных плоскостей равны.