"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Параллельное проектирование помогает изображать пространственные фигуры на плоскости: через каждую точку проводят прямую, параллельную выбранному направлению, и отмечают её пересечение с плоскостью изображения. Так получают проекции точек, а из них — изображение фигуры. Главное условие: направление проектирования не параллельно плоскости. Метод лежит в основе ортогональных проекций и помогает выполнять чертежи, не смешивая их с центральной перспективой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельное проектирование — способ изображения пространственных объектов на плоскости, при котором все проектирующие прямые параллельны одному заданному направлению. Это правило задаёт единый способ перенести точки фигуры на чертёж. Оно нужно, чтобы получать согласованное изображение, а не выбирать положение каждой точки произвольно.
Плоскость проектирования — плоскость, на которую получают изображение пространственной фигуры. Её можно представить как плоскость листа или экрана, хотя сама фигура может находиться вне неё. Указание этой плоскости необходимо, потому что именно на ней должны оказаться все проекции.
Направление проектирования — общее направление проектирующих прямых; оно не должно быть параллельно плоскости проектирования. Его выбирают до построения, чтобы определить, как именно точки будут переноситься на изображение. Условие о непараллельности обеспечивает пересечение прямых с плоскостью.
Проектирующая прямая — прямая, проходящая через изображаемую точку и параллельная заданному направлению; её пересечение с плоскостью даёт проекцию точки. Через каждую точку можно провести такую прямую только одну. Поэтому понятие проектирующей прямой позволяет построить точку изображения однозначно.
Чтобы каждой точке пространства соответствовала ровно одна проекция, через неё проводят прямую заданного направления. Через одну точку существует единственная прямая, параллельная этому направлению. Если направление не параллельно плоскости проектирования, прямая пересекает её в одной точке, а не лежит в ней и не проходит мимо. Эта точка пересечения и становится единственной проекцией исходной точки.
Построение проекции точки начинается с проведения проектирующей прямой через эту точку. Затем находят место, где прямая пересекает плоскость проектирования, и обозначают его, например, A′ для точки A. Нельзя выбрать вместо пересечения любую другую точку плоскости: она не будет лежать одновременно на плоскости и на проектирующей прямой. Именно это условие связывает исходную точку с её изображением.
Чтобы получить проекцию фигуры, применяют построение не к одной точке, а ко всем точкам фигуры. Каждую точку переносят по своему проектирующему лучу или прямой, после чего рассматривают множество получившихся точек. На практике часто достаточно сначала спроектировать важные точки — вершины, концы отрезков и точки пересечения, — а затем восстановить изображение по связям между ними. Такой способ удобен, потому что линии фигуры задаются её характерными точками.
При центральном проектировании проектирующие прямые проходят через одну общую точку — центр проектирования. При параллельном проектировании они не сходятся в центре, а параллельны выбранному направлению. Различие связано с тем, как задаётся положение проектирующих прямых: общей точкой в одном случае и направлением в другом. Поэтому для построения параллельной проекции нельзя направлять все лучи из одной точки.
Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного, потому что его проектирующие прямые перпендикулярны плоскости проектирования. Все прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны друг другу, а значит, удовлетворяют основному условию параллельного проектирования. Особенность ортогонального случая — выбор направления под прямым углом к плоскости. В общем случае направление может быть наклонным, но не параллельным плоскости.
| Что проектируют | Как строят проекцию | Что получают |
|---|---|---|
| Точка | Проводят через неё прямую заданного направления | Точку пересечения прямой с плоскостью |
| Прямая | Проектируют её точки или две точки, если прямая не параллельна направлению | Прямую либо точку в вырожденном случае |
| Отрезок | Проектируют концы и учитывают все точки отрезка | Отрезок или одну точку |
| Плоскость | Проектируют точки плоскости, например вершины фигуры в ней | Часть плоскости, прямая или точка |
| Пространственная фигура | Проектируют все её точки, обычно начиная с характерных | Плоское изображение фигуры |
Пользуйся таблицей как схемой: сначала определи, какие точки задают объект, затем построй их проекции. После этого установи, какие линии и области нужно соединить или выделить на чертеже. Указанные вырожденные случаи возникают, когда объект расположен особым образом относительно направления проектирования.
Дана плоскость проектирования α, направление a и точка A вне α. Требуется построить параллельную проекцию A на α. Поскольку направление a не параллельно плоскости, проектирующая прямая пересечёт α. Искомая проекция — это не произвольная точка плоскости, а именно указанное пересечение.
Через A проводят прямую, параллельную направлению a. Она и будет проектирующей прямой точки A. Важно сохранить заданное направление, а не проводить прямую к выбранной точке плоскости.
Находят пересечение этой прямой с плоскостью α и обозначают его A′. По условию о направлении пересечение существует и единственно. Поэтому дополнительных вариантов построения нет.
Проверяют, что A′ лежит одновременно на α и на прямой через A, параллельной a. Эти два условия отличают правильную проекцию от любой другой точки плоскости. Полученную точку и отмечают на изображении.
Ответ: A′ — точка пересечения α с прямой, проведённой через A параллельно a.
Нужно спроектировать отрезок AB на плоскость α, причём направление проектирования не параллельно α. Сначала следует выяснить, параллелен ли сам отрезок направлению проектирования: от этого зависит вид результата. В обычном случае разные точки отрезка переходят в разные точки плоскости, а в особом случае все они могут перейти в одну.
Проводят через A и B проектирующие прямые, параллельные заданному направлению. Находят их пересечения с α и обозначают A′ и B′. Так получают проекции концов отрезка.
Если AB не параллелен направлению проектирования, точки A′ и B′ различны. Соединяют их отрезком A′B′. Проекции промежуточных точек AB лежат на этом изображённом отрезке.
Если AB параллелен направлению, проектирующие прямые через A и B совпадают с прямой AB. Эта прямая пересекает α в одной точке, поэтому A′ = B′. Весь отрезок тогда проектируется в эту точку, а не в отрезок.
Ответ: обычно проекция AB — отрезок A′B′; если AB параллелен направлению проектирования, проекция вырождается в точку.
Для треугольника ABC сначала проектируют вершины и получают A′, B′, C′. Если плоскость треугольника не параллельна направлению проектирования, её проекция на α обычно является плоской фигурой — треугольником A′B′C′. Чтобы проверить, может ли изображение выродиться в отрезок, нужно рассмотреть не только вершины, но и плоскость, в которой лежит треугольник.
Обозначают плоскость треугольника через β. Проектируют вершины A, B и C по прямым, параллельным заданному направлению, и отмечают точки A′, B′ и C′ на α. Соединяют их в том же порядке, что и вершины исходного треугольника.
Сравнивают плоскость β с направлением проектирования. Если β параллельна этому направлению, то проектирующие прямые, проходящие через точки β, лежат в плоскости β и пересекают α по одной общей прямой. Поэтому проекции всех точек треугольника оказываются на этой прямой.
Если β не параллельна направлению, проектирующие прямые переводят точки треугольника в двумерную область плоскости α. При этом отдельные стороны могут иметь особое положение, но вся фигура не сводится к одной прямой из-за наклона плоскости β к направлению.
Ответ: да, изображение треугольника может выродиться в отрезок, если плоскость треугольника параллельна направлению проектирования.
Иногда проектирующие прямые проводят не параллельно друг другу. Так происходит, когда при построении ориентируются на вид перспективного изображения и направляют линии к общей точке; это уже центральное проектирование. Проверь себя: все прямые, проведённые через точки фигуры, должны иметь одно и то же направление.
Другая ошибка — выбрать направление, параллельное плоскости проектирования. Тогда прямая через точку вне плоскости может не пересечь её, и построение не даст проекции. Перед началом проверь, что выбранное направление не параллельно плоскости; иначе условие единственности пересечения не выполняется.
Проекцией точки иногда называют любую точку плоскости, хотя это неверно. Такое возникает, если забыть о проектирующей прямой и считать, что достаточно просто поместить изображение на плоскость. Проверка проста: проекция должна лежать и на плоскости проектирования, и на прямой через исходную точку, параллельной заданному направлению.
Не всегда проекцией отрезка является отрезок. Если его концы проектируются в одну точку, легко по привычке всё равно нарисовать между ними линию, хотя её длина равна нулю. Проверь взаимное положение отрезка и направления: при параллельности отрезка направлению все его точки попадают в одно место плоскости.
Для работы с параллельным проектированием нужны знания о взаимном положении прямых и плоскостей, а также о параллельности и перпендикулярности в пространстве. Эти понятия помогают обосновать существование пересечения проектирующей прямой с плоскостью и распознать особые случаи. Дальше проектирование используется при изображении пространственных фигур и выполнении построений на чертежах.
Ортогональные проекции — частный случай параллельного проектирования, в котором направление перпендикулярно плоскости. С этим способом связаны изображения в аксонометрии и решения стереометрических задач. Понимание общего правила помогает увидеть, какие свойства относятся ко всем параллельным проекциям, а какие появляются только при перпендикулярном направлении.
Почему направление проектирования не может быть параллельно плоскости?
Если направление параллельно плоскости, проектирующая прямая через точку вне плоскости не пересечёт её. Поэтому проекцию такой точки нельзя будет определить. Направление выбирают так, чтобы проектирующие прямые пересекали плоскость.
Чем параллельное проектирование отличается от центрального?
При параллельном проектировании все проектирующие прямые параллельны одному выбранному направлению. При центральном они проходят через одну общую точку — центр проектирования. Поэтому эти способы дают разные правила построения изображения.
Может ли проекция отрезка быть точкой?
Да. Если отрезок параллелен направлению проектирования, все его точки проектируются в одну точку. В остальных случаях проекция отрезка обычно является отрезком.
Почему проекция каждой точки определяется однозначно?
Через точку можно провести ровно одну прямую заданного направления. При условии, что направление не параллельно плоскости проектирования, эта прямая пересекает плоскость в одной точке. Это пересечение и является проекцией.
Является ли ортогональное проектирование параллельным?
Да. При ортогональном проектировании все проектирующие прямые перпендикулярны плоскости и, следовательно, параллельны друг другу. Это частный случай параллельного проектирования.
4.1. Определение параллельного проектирования
