"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Пространственная фигура — геометрический объект в трёхмерном пространстве, у которого есть не только длина и ширина, но и положение по высоте. Такие фигуры помогают описывать реальные предметы и становятся основой стереометрии — раздела геометрии о пространстве. Среди них выделяют многогранники с поверхностью из многоугольников и тела вращения, возникающие при вращении плоской фигуры. Чтобы разбираться в теме, нужно отличать поверхность от внутренней области и понимать, как условный чертёж передаёт объём.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пространственная фигура — множество точек пространства, рассматриваемое как геометрический объект. В отличие от плоской фигуры, она не обязана целиком лежать в одной плоскости и может иметь объёмное положение. Это понятие позволяет описывать не только чертежи, но и форму предметов в окружающем мире.
Многогранник — пространственная фигура, поверхность которой составлена из многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их общие стороны — рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Названия элементов помогают описывать устройство фигуры и устанавливать связи между её частями.
Тело вращения — фигура, полученная вращением плоской фигуры вокруг прямой. Прямая, вокруг которой происходит вращение, называется осью. При таком движении образуется не только внешняя поверхность: телом считают также пространство внутри неё.
Поверхность пространственной фигуры — её граница, отделяющая фигуру от окружающего пространства. Поверхность можно представить как оболочку, а само тело включает и эту оболочку, и внутреннюю область. Различие нужно, например, чтобы не путать площадь поверхности с объёмом тела.
В планиметрии точки, прямые и многоугольники рассматривают в пределах одной плоскости. В пространственной геометрии те же объекты могут располагаться в разных плоскостях, пересекаться или не иметь общих точек. Поэтому к знакомым понятиям добавляются отношения между плоскостями и положение объектов относительно пространства. Такой переход нужен, чтобы описывать объёмные формы, которые нельзя полностью передать одной плоской схемой.
Лист бумаги плоский, поэтому пространственную фигуру на нём изображают условно: выбирают ракурс и показывают только часть объёмных связей. Одни линии соответствуют видимым границам, другие скрыты самой фигурой. Чтобы чертёж не вводил в заблуждение и всё же показывал скрытые элементы, невидимые рёбра обычно проводят штрихами. Значит, чертёж — это способ сообщить о форме объекта, а не сам объёмный объект.
У многогранника соседние многоугольники соприкасаются целыми сторонами, а не только отдельными точками. Общая сторона двух граней образует ребро; в его концах сходятся другие рёбра, и эти точки являются вершинами. Такое соединение должно складываться в единую замкнутую поверхность, иначе оно не ограничит многогранное тело. Поэтому при разборе фигуры полезно сначала найти грани, затем их общие стороны и точки соединения.
Чтобы получить тело вращения, плоскую фигуру поворачивают вокруг выбранной прямой. При повороте каждая её точка движется по окружности с центром на оси вращения; если точка лежит на оси, она остаётся на месте. Совокупность траекторий точек создаёт поверхность, а область, охваченная вращением, образует тело. Например, при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон точки противоположной стороны описывают окружности, и возникает цилиндрическая поверхность.
Поверхность, внутренняя область и пространственное положение отвечают на разные вопросы. По поверхности судят, чем ограничено тело; внутренняя область показывает, что именно заключено внутри границы. Положение фигуры в пространстве определяет, как она ориентирована относительно других объектов или выбранной плоскости. Если смешать эти понятия, можно ошибиться, например, принимая оболочку за всё тело или считая, что поворот фигуры меняет её устройство.
| Признак | Многогранник | Тело вращения |
|---|---|---|
| Как образована поверхность | Соединением плоских многоугольников | Движением точек при вращении плоской фигуры вокруг прямой |
| Из каких частей состоит поверхность | Из граней, имеющих общие рёбра и вершины | Из криволинейных и, в некоторых случаях, плоских частей |
| Примеры | Куб, призма, пирамида | Цилиндр, конус, шар |
| Как можно получить | Соединить многоугольники сторонами в замкнутую поверхность | Вращать плоскую фигуру вокруг заданной оси |
Сравнивайте фигуры прежде всего по устройству поверхности: это основной признак в таблице. Если поверхность составлена из многоугольников, перед вами многогранник; если она возникает при вращении, это тело вращения. Примеры помогают проверить классификацию, но решающим остаётся способ образования поверхности.
Условие. На чертеже изображён куб. Нужно указать его грани, рёбра и вершины, а также отметить рёбра, которые не видны с выбранного ракурса. Число вершин и названия элементов на схеме могут быть обозначены буквами, но для подсчёта достаточно устройства куба.
Сначала найдём грани: у куба шесть квадратных граней, включая те, что обращены от наблюдателя. Каждая грань является многоугольником на поверхности. Не следует считать отдельный участок рисунка гранью, если он не соответствует целой грани куба.
Затем посчитаем рёбра: у каждой из шести граней четыре стороны, всего получается 6 · 4 = 24 появления сторон. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому 24 : 2 = 12 рёбер. Деление на два необходимо, чтобы не посчитать каждое общее ребро дважды.
У куба восемь вершин: по четыре на двух противоположных гранях. На чертеже определяем, какие рёбра закрыты видимой частью куба. Их отмечаем штриховыми линиями, сохраняя сами рёбра в перечне.
Ответ. У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Невидимыми считаются те рёбра, которые скрыты от выбранного ракурса; на чертеже их показывают штрихами.
Условие. Нужно классифицировать набор изображённых пространственных фигур как многогранники или тела вращения. Для каждой фигуры требуется объяснить выбор, а не опираться только на знакомое название. Рассматриваем поверхность и способ её образования.
Проверим, составлена ли поверхность из плоских многоугольников. Если да, у фигуры есть грани, а их стороны образуют рёбра; такая фигура относится к многогранникам. Например, куб и пирамида проходят эту проверку.
Если видна гладкая криволинейная часть поверхности, выясним, можно ли получить её вращением плоской фигуры вокруг прямой. Для цилиндра и конуса такой способ подходит, поэтому их относят к телам вращения. Одного округлого контура на рисунке недостаточно: нужно учитывать устройство поверхности всего тела.
Сверим вывод с признаками: у многогранника грани — многоугольники, у тела вращения поверхность создаётся движением точек при повороте. Так классификация объясняется свойствами фигуры, а не внешним сходством изображения. Если рисунок не даёт ясного ответа, мысленно восстановим объёмную форму.
Ответ. Куб и пирамида — многогранники, цилиндр и конус — тела вращения. Основание выбора — устройство поверхности и возможность получить её вращением.
Условие. Представим, что прямоугольник вращается вокруг одной из своих сторон. Нужно описать получившееся тело и его поверхность, различая оболочку и внутреннее пространство. Осью будет выбранная сторона прямоугольника.
Точки осевой стороны остаются на месте, потому что лежат на оси вращения. Каждая точка противоположной стороны движется по окружности с радиусом, равным расстоянию до оси. Остальные точки прямоугольника также описывают окружности меньших радиусов.
При вращении противоположная сторона заметает круг, а две другие стороны — боковую цилиндрическую поверхность. Вместе они образуют поверхность цилиндра. Длина стороны, вокруг которой вращают прямоугольник, задаёт высоту, а расстояние до противоположной стороны — радиус основания.
Объёмная область, ограниченная этой поверхностью, и есть получившееся тело. Если учитывать только круги и боковую оболочку, описывается поверхность, а не всё тело. Такой разбор показывает, почему при вращении важно назвать и ось, и саму вращаемую фигуру.
Ответ. Получается цилиндр: его поверхность состоит из двух кругов-оснований и боковой цилиндрической поверхности, а внутри находится объёмная область.
Считать изображение самой пространственной фигурой. Чертёж сделан на плоскости и передаёт объём условно, поэтому его вид зависит от выбранного ракурса. Ошибку допускают, когда судят только по внешнему контуру на листе. Проверьте себя: спросите, какие линии скрыты и как фигура выглядела бы при другом повороте.
Путать многогранник с его поверхностью. Поверхность ограничивает тело, но не равна внутренней области. Путаница возникает из-за того, что на рисунке чаще всего видна именно оболочка. Проверьте себя: если речь идёт о самом теле, учитывайте пространство внутри границы, а если о поверхности — только её оболочку.
Называть гранью любую часть изображения. Грань — многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника, а не произвольная область на бумаге. Ошибку провоцируют перспективные и вспомогательные линии чертежа. Проверьте, что выбранная часть действительно ограничена рёбрами и соответствует одной плоской грани.
Считать невидимое ребро отсутствующим. Ребро может быть закрыто от наблюдателя, но остаётся частью фигуры. Обычно его не замечают, потому что на обычном рисунке видны не все стороны многогранника. Проверьте себя, мысленно повернув фигуру или восстановив её поверхность; скрытые рёбра на чертеже отмечают штрихами.
Для изучения пространственных фигур нужны планиметрические понятия: точка, отрезок, многоугольник и окружность. Также пригодятся свойства параллельных и перпендикулярных прямых: они помогают описывать положение рёбер, граней и осей. Если эти понятия знакомы, легче читать чертежи и представлять взаимное расположение частей тела.
Тема служит основой для дальнейшего изучения многогранников и тел вращения. Позже рассматривают свойства их поверхностей, вычисляют площади и объёмы. Понимание того, что именно ограничивает тело и как оно устроено, помогает выбирать нужные формулы и правильно применять их.
Чем пространственная фигура отличается от плоской?
Плоская фигура целиком расположена в одной плоскости, например квадрат или круг. Пространственная фигура занимает часть трёхмерного пространства и имеет объёмное положение.
Чем многогранник отличается от тела вращения?
Поверхность многогранника состоит из многоугольников, а у тела вращения есть криволинейные части поверхности. Тело вращения получают, поворачивая плоскую фигуру вокруг прямой.
Что называют гранью, ребром и вершиной многогранника?
Грань — многоугольник на поверхности многогранника. Ребро — сторона, по которой соединяются две грани, а вершина — конец рёбер, где сходятся грани.
Почему некоторые рёбра на чертеже изображают штриховыми линиями?
Такие рёбра находятся за видимой частью фигуры и закрыты от выбранного наблюдателя. Штриховая линия показывает, что ребро существует, хотя с данного ракурса его не видно.
Как понять, какое тело получится при вращении плоской фигуры?
Нужно определить ось вращения и проследить, какие окружности описывают точки фигуры. Например, при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон получается цилиндр.
§ 1. Пространственные фигуры
