§ 6. Расположение двух прямых в пространстве: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку; они лежат в одной плоскости. Проще говоря, прямые встречаются в одной точке, но не совпадают. Это определение помогает сразу распознать такой случай и использовать точку пересечения при построении плоскости.

Параллельные прямые — различные прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. На плоскости они не пересекутся, даже если продолжить их в обе стороны. Уточнение «различные» исключает ситуацию, когда сравнивают прямую с самой собой; определение нужно, чтобы отличать параллельность от скрещивания.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и поэтому не пересекаются. Их нельзя поместить вместе ни в одну плоскую фигуру, даже если на чертеже они выглядят просто непересекающимися. Это понятие необходимо, чтобы описывать расположение прямых в пространстве, которого не бывает на обычной плоскости.

Как это устроено

В пространстве две прямые могут иметь одну общую точку или не иметь общих точек. Во втором случае возможны два разных положения: прямые лежат в одной плоскости либо общей плоскости нет. Именно поэтому для полной классификации недостаточно посмотреть только на пересечение. Нужно одновременно учитывать общие точки и возможность расположить обе прямые в одной плоскости.

Если прямые пересекаются, их общую точку можно обозначить A, а на каждой прямой выбрать ещё по одной точке. Эти три точки не лежат на одной прямой: две дополнительные точки принадлежат разным пересекающимся прямым. Через три такие точки проходит единственная плоскость, поэтому пересекающиеся прямые задают её. Эта плоскость содержит обе прямые целиком.

Две различные параллельные прямые тоже задают единственную плоскость. Возьмём точку на одной прямой и точку на другой: через эти две точки можно провести прямую, которая соединит выбранные точки. Вместе с одной из параллельных прямых эта соединяющая прямая задаёт плоскость; в ней окажется и вторая параллельная прямая. Единственность следует из того, что две различные пересекающиеся прямые в этой плоскости уже определяют её однозначно.

Если прямые не пересекаются, сначала нельзя делать вывод, что они параллельны. Следует проверить, существует ли плоскость, содержащая обе прямые: если существует, непересекающиеся прямые параллельны; если нет, они скрещиваются. Такая проверка нужна, потому что в пространстве прямые могут находиться на разных плоскостях и не иметь общей точки. Поэтому плоская интуиция здесь не всегда работает.

Параллельность обладает транзитивностью: если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b. Действительно, все три прямые имеют одно направление, а две параллельные одной прямой не могут пересечься между собой. Кроме того, через a и c проходит плоскость, и прямая b, параллельная c, также лежит в этой плоскости. Значит, a и b компланарны и параллельны.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала сравни число общих точек, а если их нет — посмотри на строку о плоскости. Общая плоскость отделяет параллельные прямые от скрещивающихся. Примеры в последней строке относятся к кубу ABCDA₁B₁C₁D₁.

Разбор задач

1. Рёбра AB и BC куба ABCDA₁B₁C₁D₁ имеют общую вершину B. Определите взаимное расположение прямых AB и BC.

1. Прямая AB проходит через вершины A и B, а BC — через B и C.
2. У прямых есть общая точка B. Они различны, так как точки A, B и C — разные вершины грани куба.
3. По определению прямые с одной общей точкой пересекаются. Через них можно провести плоскость грани ABCD.

Ответ: прямые AB и BC пересекаются в точке B.

2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите взаимное расположение прямых AB и C₁D₁. Обоснуйте ответ.

1. Рёбра AB и C₁D₁ не имеют общей вершины, значит, прямые не пересекаются.
2. В кубе AB параллельна DC, а DC и C₁D₁ — противоположные рёбра боковой грани и параллельны. Следовательно, AB и C₁D₁ имеют одно направление.
3. Чтобы подтвердить параллельность, нужно проверить, что прямые лежат в одной плоскости. Плоскость, проходящая через AB и C₁D₁, содержит обе прямые; например, это плоскость диагонального сечения ABB₁C₁, поскольку C₁D₁ в этом сечении не лежит? Поэтому используем иной способ: плоскость через AB и C₁D₁ задаётся как содержащая эти параллельные рёбра, которые являются сторонами параллелограмма ABC₁D₁.

Ответ: AB и C₁D₁ параллельны; они являются противоположными сторонами плоскости ABC₁D₁.

3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рассмотрите прямые AB и CC₁. Докажите, что они скрещиваются.

1. Прямая AB лежит в плоскости основания ABCD, а CC₁ пересекает плоскость основания только в точке C. Точка C не принадлежит AB, поэтому прямые не пересекаются.
2. Предположим, что AB и CC₁ лежат в одной плоскости α. Плоскости α и ABCD различны, поскольку CC₁ не лежит в основании.
3. Их пересечение должно быть прямой. Так как α содержит AB, а ABCD тоже содержит AB, линия пересечения плоскостей — AB. Но CC₁ пересекает ABCD в C, значит, C должна лежать на AB. Это противоречит тому, что AB и BC — разные рёбра грани.

Ответ: AB и CC₁ не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому они скрещиваются.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Так думают, перенося на пространство свойства чертежа на плоскости, где две прямые без общей точки действительно параллельны. Проверь, можно ли поместить обе прямые в одну плоскость: если нельзя, они скрещиваются.

Ошибка: объявлять прямые скрещивающимися лишь потому, что на рисунке они не пересекаются. На плоском изображении пространственная фигура может быть искажена, а линии могут казаться разнесёнными. Проверь свойства объёмной фигуры и докажи отсутствие общей плоскости.

Ошибка: судить о параллельности только по одинаковому направлению линий на рисунке. Проекция может создавать впечатление параллельности у прямых, которые не лежат в одной плоскости. Для проверки установи не только направление, но и компланарность прямых.

Ошибка: полагать, что любые две прямые задают плоскость. Это верно, когда они пересекаются или параллельны, но для скрещивающихся прямых общей плоскости нет. Перед построением плоскости выясни взаимное расположение прямых и не используй это свойство без проверки.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое плоскость и как её задают точки или прямые: без этого нельзя проверить, компланарны ли две прямые. Также понадобятся свойства параллельных прямых на плоскости и признаки параллельности. Классификация прямых пригодится дальше при изучении параллельности прямой и плоскости. Она помогает и в задачах о сечениях многогранников, где важно понять, какие линии принадлежат одной плоскости.

Что запомнить

• Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку.
• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.
• Пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость.
• Параллельные прямые определяют единственную плоскость.
• Чтобы различить параллельные и скрещивающиеся прямые, проверь, лежат ли они в одной плоскости.