Раздел 3. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые — две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся: a ∥ b. Условие общей плоскости отделяет их от скрещивающихся прямых и позволяет применять свойства планиметрии.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и поэтому не пересекаются. Это понятие нужно, чтобы правильно описывать все случаи расположения прямых в пространстве.

Прямая, параллельная плоскости, не имеет с этой плоскостью общих точек: a ∥ α. Такое обозначение помогает отличить положение «рядом с плоскостью» от принадлежности прямой самой плоскости.

Параллельные плоскости — две различные плоскости, не имеющие общих точек: α ∥ β. Их свойства позволяют сравнивать фигуры и отрезки, расположенные на разных уровнях пространства.

Как это устроено

В пространстве двух прямых недостаточно просто не пересекаться. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, но для непересекающихся прямых такая плоскость может не существовать. Поэтому параллельность требует сразу двух условий: общей плоскости и отсутствия общей точки, а скрещивающиеся прямые удовлетворяют только второму.

Признак параллельности прямых переносит известную ситуацию из планиметрии в пространство. Если a и b лежат в одной плоскости, а a ∥ c и b тоже лежит в этой плоскости, то при условии, что c является прямой той же плоскости, можно использовать положение прямых в ней: две прямые одной плоскости, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой. На практике чаще формулируют так: если две прямые лежат в одной плоскости и одна из них параллельна третьей прямой, лежащей в той же плоскости, то прямые параллельны.

Прямая, не лежащая в плоскости, может либо пересечь её, либо не иметь с ней общих точек. Чтобы доказать второй случай, находят в плоскости прямую, параллельную данной прямой. Если бы исходная прямая пересекала плоскость, то через точку пересечения и найденную прямую можно было бы получить противоречие с единственностью параллельной прямой через точку вне прямой. Поэтому такая проверка служит признаком параллельности прямой и плоскости.

Для параллельности плоскостей одной пары параллельных прямых недостаточно: плоскости могут наклоняться друг к другу в других направлениях. Надёжный признак использует две пересекающиеся прямые каждой плоскости. Если первая пара и вторая пара соответственно параллельны, направления плоскостей согласованы, поэтому плоскости не пересекаются и являются параллельными.

Параллельные плоскости имеют важное следствие при пересечении третьей плоскостью. Линии пересечения не могут пересекаться, иначе исходные плоскости получили бы общую точку. Они лежат в одной третьей плоскости, поэтому являются параллельными прямыми. Кроме того, параллельные плоскости отсекают на пересекающих их параллельных прямых пропорциональные отрезки; это обобщает свойства параллельных прямых на плоскости.

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Сначала определите объект в задаче, а затем сопоставьте его с нужной строкой. В столбце «Признак» указано, какие условия достаточно доказать, а в столбце «Основное свойство» — какой вывод можно сделать после установления параллельности.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде определить взаимное расположение рёбер AB и CD, а также рёбер AB и CC₁. Нужно проверить и наличие общей плоскости, и возможность пересечения. Рассматриваем стандартное обозначение вершин: ABCD — основание, а A₁B₁C₁D₁ — параллельное ему основание.

1. Рёбра AB и CD лежат в одной плоскости основания ABCD.
2. В параллелепипеде противоположные стороны основания параллельны, поэтому AB ∥ CD.
3. Рёбра AB и CC₁ не имеют общих точек, но AB лежит в основании, а CC₁ выходит из основания через вершину C. Общей плоскости, содержащей эти два ребра как параллельные прямые, нет, поэтому они скрещивающиеся.

Ответ: AB ∥ CD; AB и CC₁ — скрещивающиеся прямые.

Задача 2. В плоскости α лежит прямая b, а прямая a не лежит в α и параллельна b. Требуется доказать, что a ∥ α. Здесь прямо выполняются условия признака параллельности прямой и плоскости.

1. Прямая b принадлежит плоскости α, а прямая a не принадлежит ей.
2. По условию a ∥ b.
3. Следовательно, прямая a, не лежащая в α и параллельная прямой этой плоскости, параллельна плоскости α.

Ответ: a ∥ α.

Задача 3. В тетраэдре нужно доказать параллельность двух плоскостей, проходящих через две пары параллельных рёбер. Сначала в каждой плоскости выделяют не одну, а две пересекающиеся прямые. После этого применяется признак параллельности плоскостей.

1. Пусть в первой плоскости лежат пересекающиеся прямые a и b, а во второй — пересекающиеся прямые a₁ и b₁.
2. По условию a ∥ a₁ и b ∥ b₁.
3. Две пересекающиеся прямые первой плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй, значит, эти плоскости параллельны.

Ответ: плоскости параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Типичные ошибки

Любые непересекающиеся прямые считают параллельными. Ошибка появляется из-за переноса плоской геометрии в пространство. Проверьте, существует ли одна плоскость, содержащая обе прямые.

Прямую объявляют параллельной плоскости по рисунку. Видимый участок плоскости не показывает все её точки, поэтому пересечение может быть скрытым. Используйте определение или найдите в плоскости прямую, параллельную данной.

Параллельность прямой плоскости путают с принадлежностью. При a ∥ α прямая не лежит в α и не имеет с ней общих точек. Сначала установите, где находится сама прямая.

Плоскости доказывают параллельными по одной паре прямых. Одно направление не задаёт взаимное положение плоскостей полностью. Найдите по две пересекающиеся прямые в каждой плоскости и установите соответствующую параллельность.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужны определения параллельных и пересекающихся прямых на плоскости, признаки их параллельности и свойства принадлежности точек и прямых плоскости. Эти знания переносятся на пространственные фигуры с учётом скрещивания.

Параллельность нужна при изучении сечений многогранников, расстояний и углов в пространстве. Параллельные плоскости помогают доказывать свойства призм и параллелепипедов и строить наглядные изображения пространственных фигур.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве могут быть скрещивающимися.
• Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.
• Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой.
• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• При пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью линии их пересечения параллельны.