"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Чтобы доказать перпендикулярность, достаточно проверить две пересекающиеся прямые плоскости. Из точки вне плоскости можно опустить перпендикуляр и провести наклонные; основание перпендикуляра и конец наклонной задают её проекцию. Эти отрезки образуют прямоугольный треугольник, поэтому длину наклонной находят по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через точку пересечения прямой с плоскостью. В пространстве недостаточно сравнить прямую только с одной прямой: через точку пересечения в плоскости проходит множество прямых. Определение помогает точно установить, что угол прямой с плоскостью прямой.
Перпендикуляром к плоскости называют отрезок перпендикулярной прямой, проведённый от точки вне плоскости до плоскости. Точка, в которой этот отрезок встречает плоскость, называется основанием перпендикуляра; её часто обозначают H. Это понятие позволяет говорить о кратчайшем отрезке от точки до плоскости и измерять расстояние между ними.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, если этот отрезок не перпендикулярен плоскости. Начало наклонной находится вне плоскости, а её конец — в плоскости. Наклонные нужны, чтобы сравнивать отрезки от одной точки до разных точек плоскости.
Проекция наклонной — отрезок плоскости, который соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной. Если перпендикуляр опущен из точки A в точку H, а наклонная приходит в точку B, её проекция — отрезок HB. Такое обозначение позволяет связать пространственную наклонную с отрезками плоского треугольника.
В планиметрии угол между пересекающимися прямыми определяют в точке их встречи. В пространстве прямая может пересекать плоскость, но с ней связано бесконечно много прямых, идущих в разных направлениях. Поэтому определение требует перпендикулярности всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения, а не одной случайно выбранной. Так привычный прямой угол распространяется на взаимное расположение прямой и плоскости.
Проверять перпендикулярность ко всем прямым плоскости напрямую неудобно, поэтому используют признак: достаточно проверить две пересекающиеся прямые этой плоскости. Они задают два разных направления внутри плоскости, и перпендикулярность обоим позволяет установить перпендикулярность всей плоскости. Обязательно проверь, что обе прямые лежат именно в рассматриваемой плоскости и пересекаются друг с другом.
Чтобы провести перпендикуляр из точки A вне плоскости, через A проводят прямую, перпендикулярную плоскости. Она пересекает плоскость в точке H, которая и становится основанием перпендикуляра; для данной точки и плоскости такое основание единственно. Затем можно соединить A с другой точкой B плоскости: если AB не перпендикулярен плоскости, этот отрезок будет наклонной. На чертеже точку H отмечают на плоскости и обычно выделяют знак прямого угла.
Пусть AH — перпендикуляр, а AB — наклонная с концом B в плоскости. Отрезок HB лежит в плоскости, а AH перпендикулярен каждой прямой плоскости, проходящей через H, в том числе HB. Значит, угол AHB прямой, и треугольник AHB прямоугольный; AB — его гипотенуза, а AH и HB — катеты.
По теореме Пифагора AB² = AH² + HB²: квадрат наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции. Поскольку длина гипотенузы больше длины любого катета, наклонная длиннее перпендикуляра. Если известны любые два отрезка из этих трёх, равенство позволяет найти третий, выбирая корень, соответствующий положительной длине.
| Что рассматриваем | Как определяется | Где расположено | Связь с другими отрезками |
|---|---|---|---|
| Перпендикуляр к плоскости | Отрезок от точки вне плоскости до неё по перпендикулярной прямой | Часть находится вне плоскости, конец лежит в ней | Вместе с проекцией наклонной образует прямой угол |
| Наклонная к плоскости | Отрезок от точки вне плоскости до точки плоскости, не перпендикулярный ей | Соединяет точку вне плоскости с точкой в плоскости | Гипотенуза прямоугольного треугольника |
| Основание перпендикуляра | Точка встречи перпендикуляра с плоскостью | Лежит в плоскости | Начало проекции наклонной |
| Проекция наклонной | Отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной | Целиком лежит в плоскости | Катет прямоугольного треугольника |
| Связь длин перпендикуляра, наклонной и её проекции | AB² = AH² + HB² | Длины принадлежат отрезкам треугольника AHB | Наклонная длиннее перпендикуляра |
Сначала определите, какой отрезок соответствует каждому объекту: AH — перпендикуляр, HB — проекция, AB — наклонная. Затем используйте прямоугольный треугольник и теорему Пифагора, чтобы найти неизвестную длину. Не подменяйте проекцию самой наклонной: они занимают разные положения в пространстве.
Задача 1. Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Докажите, что она перпендикулярна этой плоскости. Нужно проверить условия признака, а не перебирать все прямые плоскости. Обозначим рассматриваемую плоскость α, а две прямые в ней — a и b.
Ответ: прямая перпендикулярна плоскости α по признаку. Ключевой шаг — убедиться, что две прямые действительно пересекаются и обе принадлежат этой плоскости.
Задача 2. Из точки вне плоскости опущен перпендикуляр длиной 5 см и проведена наклонная, проекция которой равна 12 см. Найдите длину наклонной. Здесь известны оба катета прямоугольного треугольника: перпендикуляр и проекция. Наклонная будет его гипотенузой.
Ответ: 13 см. Перед применением теоремы Пифагора нужно было определить прямой угол и убедиться, что искомый отрезок — гипотенуза.
Задача 3. Из точки вне плоскости проведены две наклонные. Их проекции равны 6 см и 8 см, длина первой наклонной — 10 см. Найдите длину второй наклонной. Обе наклонные начинаются в одной точке, поэтому перпендикуляр от неё к плоскости у них общий. Сначала найдём его длину по первой наклонной.
Ответ: 8√2 см. Нельзя использовать для второй наклонной длину первой: общим является перпендикуляр, а проекции у отрезков разные.
Считать достаточным, что прямая перпендикулярна одной прямой плоскости, — ошибка: одна прямая показывает только одно направление в плоскости. Такое условие не даёт основания применить признак перпендикулярности. Проверяйте, найдены ли две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные данной прямой.
Путать наклонную с её проекцией легко, потому что оба отрезка связаны с одним концом наклонной. Но наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой в плоскости, а проекция целиком лежит в плоскости и начинается в основании перпендикуляра. На чертеже проследите, какой отрезок выходит из точки вне плоскости.
Иногда конец наклонной принимают за основание перпендикуляра. Эти точки совпадают только в случае самого перпендикуляра, а у наклонной конец обычно другой. Проверьте, где именно перпендикуляр пересекает плоскость: эта точка и есть основание.
Теорему Пифагора нельзя применять к трём отрезкам без проверки прямого угла. В нужном треугольнике прямой угол образован перпендикуляром к плоскости и проекцией наклонной, а наклонная является гипотенузой. Перед вычислениями отметьте угол и подпишите катеты и гипотенузу; тогда станет ясно, какое равенство использовать.
Для этой темы нужны определение перпендикулярных прямых и свойства прямого угла: именно они позволяют понять, что перпендикуляр к плоскости образует прямой угол с прямыми в ней. Теорема Пифагора связывает длины перпендикуляра, проекции и наклонной. В дальнейшем признак перпендикулярности поможет доказывать отношения между прямыми и плоскостями в пространстве, а перпендикуляр станет основой для изучения расстояния от точки до плоскости.
Почему для признака нужны именно две пересекающиеся прямые плоскости?
Две прямые с общей точкой задают направление плоскости, поэтому перпендикулярность обеим позволяет установить перпендикулярность прямой всей плоскости. Если проверить только одну прямую, другие направления в плоскости останутся неучтёнными.
Можно ли провести из точки к плоскости несколько перпендикуляров?
Нет, из данной точки к данной плоскости можно провести только один перпендикуляр. Поэтому у него единственное основание — точка пересечения с плоскостью.
Чем наклонная отличается от её проекции?
Наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой плоскости и не перпендикулярна ей. Её проекция лежит в плоскости и соединяет основание перпендикуляра с концом наклонной.
Как определить основание перпендикуляра на чертеже?
Это точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость. На чертеже её часто обозначают буквой H и отмечают прямой угол между перпендикуляром и плоскостью.
Как связаны длины наклонной, перпендикуляра и проекции?
Они образуют прямоугольный треугольник: наклонная — гипотенуза, а перпендикуляр и проекция — катеты. Поэтому квадрат наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции.
7.1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная
