7.2. О значении перпендикуляра

Определения и обозначения

Перпендикуляр к прямой — отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом, то есть под углом 90°. Например, если точка A не лежит на прямой, а отрезок AB образует с ней угол 90°, то AB — перпендикуляр. Он нужен, чтобы определить кратчайший путь от точки до прямой.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает прямую или плоскость. Если AB перпендикулярен прямой и B лежит на ней, то B — основание перпендикуляра. По этой точке видно, к какому именно месту прямой опущен отрезок.

Наклонная — отрезок, соединяющий точку с точкой прямой или плоскости, но не являющийся перпендикуляром. Например, AC будет наклонной, если C лежит на прямой, а AC не образует с ней угла 90°. Наклонные позволяют сравнивать расстояния до разных точек прямой и применять теорему Пифагора.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если AB — перпендикуляр из A к прямой, то расстояние равно AB, а не длине произвольно выбранной наклонной. Такое определение даёт одно определённое значение расстояния.

Как это устроено

Возьмём точку A вне прямой и проведём из неё перпендикуляр AB к прямой. Любой другой отрезок AC, соединяющий A с точкой C на прямой, вместе с AB и частью прямой образует прямоугольный треугольник ABC. В нём AC — гипотенуза, а AB — катет. По теореме Пифагора AC² = AB² + BC², поэтому при BC > 0 получаем AC > AB. Значит, именно длина перпендикуляра является наименьшей среди расстояний от A до точек прямой.

Это же объясняет, почему любая наклонная длиннее перпендикуляра. Проекция наклонной — отрезок BC на прямой между основанием перпендикуляра B и концом наклонной C. Она служит вторым катетом прямоугольного треугольника, поэтому длина наклонной равна √(AB² + BC²). Если проекция ненулевая, под корнем прибавляется положительное число и наклонная длиннее AB. Если проекция равна нулю, конец отрезка совпадает с B и сам отрезок является перпендикуляром, а не наклонной.

Из одной точки к данной прямой можно провести только один перпендикуляр. Через точку вне прямой существует единственная прямая, перпендикулярная данной, а пересекает исходную прямую она в одной точке. Поэтому нельзя получить два разных перпендикуляра из той же точки к той же прямой: они должны были бы задавать два различных направления под углом 90° к одной прямой. Единственность важна для того, чтобы понятие расстояния не давало нескольких значений.

Основание перпендикуляра помогает однозначно найти расстояние: сначала устанавливают, в какой точке прямой перпендикуляр её пересекает, затем измеряют отрезок от исходной точки до этого основания. Например, если AB ⟂ прямой l и B принадлежит l, расстояние от A до l равно AB. Длина отрезка AC до другой точки C на l не заменяет это расстояние, потому что AC — наклонная. Так определение переводит вопрос о расстоянии к конкретному отрезку.

Тот же принцип применяется к плоскости. Из точки вне плоскости можно опустить к ней перпендикуляр, а расстоянием до плоскости называют длину этого перпендикуляра. Любой отрезок от исходной точки к другой точке плоскости, если он не перпендикулярен ей, длиннее: вместе с перпендикуляром и проекцией образуется прямоугольный треугольник. Поэтому кратчайший путь к плоскости, как и к прямой, задаётся прямым углом.

Перпендикуляр и наклонная из одной точки

Сравнивайте отрезки по признакам в таблице: сначала проверьте угол, затем выясните, где находится конец отрезка. Чтобы найти длину наклонной, используйте её проекцию и теорему Пифагора. Строка о количестве напоминает, что для одной точки и одной прямой существует только один перпендикуляр.

Разбор задач

Задача 1. Из точки A к прямой проведены перпендикуляр AB и наклонная AC. Известны AB = 5 см и BC = 12 см. Найти AC. Нужно заметить, что AB перпендикулярен прямой, а BC лежит на ней, поэтому треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B.

1. Выбираем теорему Пифагора: AC — гипотенуза, AB и BC — катеты.
2. Подставляем известные длины: AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
3. Берём положительный корень, поскольку длина отрезка положительна: AC = √169 = 13 см.

Ответ: AC = 13 см. Проверка показывает, что наклонная длиннее перпендикуляра: 13 > 5. Это согласуется со свойством отрезков, проведённых из одной точки к прямой.

Задача 2. Из точки A к прямой проведены перпендикуляр AB = 6 см и две наклонные AC и AD. Их проекции на прямую равны BC = 8 см и BD = 3 см. Сравнить длины наклонных. Так как перпендикуляр общий, удобно вычислить обе длины по теореме Пифагора.

1. Для AC используем катеты AB и BC: AC² = 6² + 8² = 100, поэтому AC = 10 см.
2. Для AD используем AB и BD: AD² = 6² + 3² = 45, поэтому AD = √45 = 3√5 см.
3. Сравниваем значения: 10² = 100, а (3√5)² = 45, следовательно, AC > AD.

Ответ: AC длиннее AD. У них одинаковый перпендикуляр, но проекция BC больше BD, поэтому и соответствующая наклонная длиннее. При сравнении достаточно сопоставить проекции, если перпендикуляр общий.

Задача 3. Докажем, что среди всех отрезков, соединяющих точку A вне прямой l с точками этой прямой, перпендикуляр AB — кратчайший. Пусть C — любая точка прямой, отличная от основания B. Тогда BC > 0, а треугольник ABC прямоугольный.

1. По теореме Пифагора AC² = AB² + BC².
2. Так как BC² > 0, имеем AC² > AB².
3. Длины положительны, поэтому из неравенства квадратов следует AC > AB.
4. Точка C была выбрана произвольно, значит, неравенство верно для любой точки прямой, кроме B.

Ответ: AB — кратчайший отрезок от A до прямой l, то есть расстояние от A до l. Для точки B длина отрезка равна AB; для любой другой точки получается наклонная, которая длиннее. Доказательство основано на том, что гипотенуза прямоугольного треугольника длиннее каждого катета.

Типичные ошибки

Считать расстоянием до прямой длину любой наклонной — ошибка: расстояние определено как длина перпендикуляра. Её допускают, когда выбирают самый заметный или удобный отрезок, не проверяя угол. Проверь себя: отрезок для расстояния должен образовывать с прямой угол 90°.

Путать основание перпендикуляра с исходной точкой — значит смешивать два разных конца отрезка. Исходная точка находится вне прямой, а основание лежит на прямой и является точкой их пересечения. Чтобы проверить обозначения, проследи, какой конец отрезка принадлежит прямой.

Утверждать, что любая наклонная равна перпендикуляру, нельзя: у наклонной есть ненулевая проекция. Иногда замечают, что оба отрезка проведены из одной точки к одной прямой, и не учитывают различие их концов. Проверь по формуле l² = h² + p²: при p > 0 длина l больше h.

Считать перпендикулярными любые пересекающиеся отрезки — ошибка, потому что пересечение само по себе не задаёт угол 90°. Её допускают, если не отмечают и не измеряют угол между отрезками. Для проверки нужно убедиться, что угол прямой, а не просто что отрезки имеют общую точку.

Связь с другими темами

Для обоснования свойств перпендикуляра нужны признаки прямого угла, свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Затем тот же способ рассуждений помогает находить расстояния между точками, прямыми и плоскостями в пространстве. Перпендикуляр используется и при построении высот, медиан и ортогональных проекций: в каждом случае важно точно определить основание и угол.

Что запомнить

• Перпендикуляр образует с прямой угол 90°.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с прямой.
• Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра.
• Из одной точки к данной прямой можно провести единственный перпендикуляр.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки.
• Чем больше проекция наклонной, тем длиннее сама наклонная.