7.3. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, которая её пересекает. Перпендикулярность прямых означает, что угол между ними равен 90°. Это определение задаёт точный смысл перпендикулярности в пространстве.

Запись a ⟂ α означает, что прямая a перпендикулярна плоскости α. Символ ⟂ используют и для двух перпендикулярных прямых, поэтому второе обозначение в записи показывает, что речь идёт о плоскости. Такая запись помогает кратко формулировать условие и вывод.

Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Признак позволяет доказать перпендикулярность, не проверяя по отдельности все прямые плоскости. В задачах важно подтвердить каждую часть его условия.

Пересекающиеся прямые плоскости — это две прямые, которые лежат в одной рассматриваемой плоскости и имеют общую точку. Их пересечение необходимо для применения основного признака. Если прямые параллельны, условие признака не выполнено.

Как это устроено

По определению пришлось бы проверить перпендикулярность данной прямой каждой прямой плоскости, которая её пересекает. Таких прямых бесконечно много, поэтому непосредственная проверка неудобна. Основной признак заменяет её проверкой двух подходящих направлений в плоскости: перпендикулярность обоим сразу гарантирует перпендикулярность всей плоскости.

Пусть прямая a пересекает плоскость α в точке O, а прямые b и c лежат в α и проходят через O. Если a перпендикулярна b и c, то в плоскости заданы два разных направления, и именно это позволяет установить перпендикулярность прямой плоскости. Тогда через O любая другая прямая плоскости образует с a прямой угол. Значит, выполнено требование определения для всех пересекающих a прямых этой плоскости.

Требование пересечения прямых b и c нельзя отбросить. Две параллельные прямые задают лишь одно направление, поэтому перпендикулярность a каждой из них сама по себе не проверяет, как a расположена относительно других направлений плоскости. К тому же основной признак сформулирован именно для двух пересекающихся прямых. Перед применением нужно убедиться, что они имеют общую точку.

На чертеже плоскость часто изображают параллелограммом, а перпендикулярную ей прямую проводят через точку плоскости. Возле пересечения прямой с плоскостью ставят значок прямого угла, показывая перпендикулярность, а не просто точку пересечения. Два направления в плоскости, с которыми сравнивают прямую, обозначают отдельными прямыми и отмечают прямые углы в местах их пересечения с ней. Чертёж помогает увидеть условие, но сам по себе не заменяет доказательство.

При доказательстве по определению нужно обосновать перпендикулярность данной прямой каждой пересекающей её прямой плоскости. При доказательстве по основному признаку достаточно предъявить две пересекающиеся прямые плоскости и доказать перпендикулярность исходной прямой обеим. Второй способ короче, но пользоваться им можно только после проверки всех условий. Если не хватает сведений о второй прямой или пересечении, вывод пока не обоснован.

Условия и выводы при перпендикулярности прямой и плоскости

Сначала найдите в условии прямые, которые лежат в нужной плоскости, и выясните, пересекаются ли они. Затем проверьте, перпендикулярна ли исходная прямая обеим, и выберите соответствующую строку таблицы. Если установлено только одно перпендикулярное направление, вывод о плоскости делать нельзя.

Разбор задач

Прямая и две пересекающиеся прямые плоскости

Условие. Прямая a перпендикулярна пересекающимся прямым b и c, лежащим в плоскости α. Докажите, что a ⟂ α. Здесь уже указано, что b и c пересекаются, поэтому задача сводится к проверке остальных условий признака. Важно не заменить требуемый вывод утверждением о перпендикулярности только b и c.

1. По условию b и c лежат в плоскости α и пересекаются. Следовательно, это именно две пересекающиеся прямые одной плоскости, требуемые для основного признака. Обе прямые выбраны не произвольно: принадлежность плоскости указана в условии.
2. Также по условию a ⟂ b и a ⟂ c. Значит, a перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости α. Все условия основного признака выполнены.
3. Применяем основной признак перпендикулярности прямой и плоскости и получаем a ⟂ α. В этом рассуждении не требуется отдельно проверять все остальные прямые плоскости, пересекающие a. Ответ: a ⟂ α.

Пирамида и диагонали основания

Условие. В основании пирамиды ABCD точка O — точка пересечения диагоналей, SO ⟂ OA и SO ⟂ OB. Докажите, что SO перпендикулярна плоскости основания. Обозначим эту плоскость α. Точка O лежит на обеих диагоналях основания, поэтому OA и OB принадлежат α и пересекаются в O.

1. Выбираем прямые OA и OB, а не просто две линии из чертежа. По условию это части диагоналей основания, значит, обе лежат в α; по условию о точке пересечения диагоналей они имеют общую точку O. Тем самым выполнено требование о двух пересекающихся прямых.
2. Из условия SO ⟂ OA и SO ⟂ OB. Исходная прямая SO, следовательно, перпендикулярна обеим выбранным прямым плоскости α. Не требуется доказывать её перпендикулярность каждой линии основания по отдельности.
3. По основному признаку SO ⟂ α. Это и есть перпендикулярность прямой высоты плоскости основания, а не только двум диагоналям. Ответ: SO перпендикулярна плоскости основания.

Прямое ребро и диагональ сечения

Условие. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ требуется показать, что AA₁ ⟂ плоскости основания, а диагональ AC₁ плоскости AA₁C₁C не перпендикулярна основанию. Плоскость основания содержит пересекающиеся ребра AB и AD. Боковое ребро AA₁ перпендикулярно каждому из них по свойству прямоугольного параллелепипеда.

1. Для прямой AA₁ выбираем AB и AD. Они лежат в основании и пересекаются в A; по свойству параллелепипеда AA₁ ⟂ AB и AA₁ ⟂ AD. Значит, по основному признаку AA₁ перпендикулярна плоскости основания.
2. Диагональ AC₁ не следует путать с ребром AA₁. Её проекция на основание — диагональ AC: точка A уже лежит в основании, а точка C₁ проектируется в C. В прямоугольнике ABCD диагональ AC имеет ненулевую длину, поэтому AC₁ не может быть перпендикулярна плоскости основания: её проекция не является точкой.
3. Таким образом, признак применён к AA₁, но не к AC₁: для последней нельзя утверждать перпендикулярность даже одному из указанных направлений основания. Ответ: AA₁ ⟂ плоскости основания, AC₁ — нет.

Типичные ошибки

Считают достаточной перпендикулярность данной прямой только одной прямой плоскости. Это принимают за доказательство, потому что путают отдельный прямой угол с перпендикулярностью всей плоскости. Проверьте себя: для основного признака нужны две прямые, и перпендикулярность должна быть доказана к каждой из них.

Не указывают, что обе проверяемые прямые лежат в данной плоскости. Иногда это кажется очевидным по чертежу, но рисунок не всегда задаёт точное взаимное положение объектов. Проверьте обозначения и условие задачи; в доказательстве явно запишите принадлежность обеих прямых плоскости.

Подставляют вместо пересекающихся прямых две параллельные. Они могут выглядеть как подходящая пара, но условие основного признака тогда не выполнено, а доказательство нельзя завершить ссылкой на него. Проверьте, есть ли у выбранных прямых общая точка; если нет, найдите в плоскости другую пару, которая пересекается.

Путают перпендикулярность прямой и плоскости с перпендикулярностью этой прямой одной линии плоскости. Ошибка возникает, когда вывод делают по одному прямому углу и не проверяют остальные условия. Для самопроверки спросите себя, доказана ли перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости; если нет, перпендикулярность всей плоскости пока не установлена.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать определение перпендикулярных прямых, свойства углов и признак перпендикулярности прямых. Эти знания помогают обосновать, почему исходная прямая образует прямой угол с каждой из двух выбранных линий. Без такого обоснования ссылаться на основной признак нельзя.

Дальше перпендикулярность прямой и плоскости используют при изучении перпендикуляра и наклонной к плоскости, а также расстояния от точки до плоскости. Она встречается и в задачах о многогранниках, где стороны и диагонали помогают подобрать пару пересекающихся прямых. Поэтому умение выбирать подходящие линии упрощает пространственные доказательства.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой пересекающей её прямой этой плоскости.
• Для доказательства достаточно найти две пересекающиеся прямые плоскости.
• Данная прямая должна быть перпендикулярна обеим выбранным прямым.
• Выбранные прямые должны лежать в рассматриваемой плоскости.
• Пересечение выбранных прямых — обязательное условие основного признака.
• По признаку устанавливают перпендикулярность всей прямой и плоскости, а не только отдельных прямых.