7.4. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость под прямым углом. Иначе это можно понимать так: её направление образует прямой угол с направлениями двух пересекающихся прямых плоскости. Это определение позволяет проверять перпендикулярность всей плоскости, а не только одной её прямой.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость. Например, если из точки M проведён перпендикуляр MH к плоскости α, то H — его основание, а запись MH ⟂ α показывает перпендикулярность. При построении именно эту точку нужно найти: она отмечает место встречи прямой и плоскости.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, если он не является перпендикуляром. Например, отрезок MC из точки M к точке C плоскости будет наклонной, когда MC не образует прямого угла с плоскостью. В отличие от перпендикуляра, наклонная не указывает кратчайший путь от точки до плоскости.

Проекция наклонной — отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной, лежащего в плоскости. Если MH перпендикулярно плоскости α, а MC — наклонная к ней, то HC является проекцией MC. Она возникает при ортогональном проектировании: точку M переносят на плоскость по перпендикуляру в H, а точка C уже лежит на плоскости.

Как это устроено

Чтобы построить перпендикуляр к плоскости, выбирают в ней две пересекающиеся прямые. Одна прямая задаёт лишь одно направление, поэтому перпендикулярность ей не исключает наклона к плоскости в другом направлении. Две пересекающиеся прямые задают два независимых направления плоскости, а значит, позволяют применить признак перпендикулярности прямой и плоскости. Именно поэтому важно, чтобы они действительно пересекались.

Если точка A уже лежит в плоскости, через неё можно провести две пересекающиеся прямые a и b, принадлежащие этой плоскости. Затем через A проводят прямую, перпендикулярную a, и прямую, перпендикулярную b; для искомой прямой это должна быть одна и та же линия. В пространстве такая линия задаётся направлением, перпендикулярным обоим направлениям опорных прямых. Точка A при этом будет точкой пересечения прямой с плоскостью.

Почему результат относится ко всей плоскости? По признаку перпендикулярности, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, она перпендикулярна этой плоскости. Признак учитывает не только выбранные прямые: они задают плоскость, а перпендикулярность обоим направлениям означает прямой угол с её направлениями. Поэтому дополнительные проверки для каждой прямой плоскости не требуются.

Из точки M вне плоскости сначала выбирают в ней две удобные пересекающиеся прямые a и b. Через M проводят прямую, перпендикулярную обеим; это и есть искомое направление перпендикуляра к плоскости. Поскольку это направление перпендикулярно плоскости, прямая не может быть параллельна ей и пересекает её в некоторой точке H. После применения признака получают MH ⟂ α, а H называют основанием.

Перпендикуляр из заданной точки к плоскости единственный. Если бы из M проходили две разные прямые, перпендикулярные α, они обе были бы перпендикулярны направлениям плоскости, но через точку в пространстве существует только одно направление, перпендикулярное двум пересекающимся направлениям плоскости. Другие отрезки из M к точкам плоскости не становятся перпендикулярами только потому, что соединяют M с плоскостью. Если они не образуют прямой угол с ней, это наклонные.

Построение перпендикуляра к плоскости

В таблице сведены два случая: точка, через которую проводят перпендикуляр, может принадлежать плоскости или находиться вне её. В обоих случаях решающую роль играют две пересекающиеся опорные прямые. Сверяйте построение с последним столбцом: он указывает, почему полученная прямая действительно перпендикулярна плоскости.

Разбор задач

Задача 1. В плоскости α через точку A проведены пересекающиеся прямые a и b. Постройте прямую через A, перпендикулярную α. Нужно не просто получить прямой угол с одной из линий, а использовать обе прямые, которые задают плоскость. Поэтому построение проверяют по признаку перпендикулярности.

1. Через A рассматриваем прямые a и b как опорные: они лежат в α и пересекаются.
2. Строим через A прямую l, перпендикулярную и a, и b.
3. По признаку l ⟂ α, поскольку l перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Ответ: прямая l через A, перпендикулярная a и b, перпендикулярна плоскости α.

Задача 2. Из точки M вне плоскости α требуется провести перпендикуляр к α, если в плоскости заданы две пересекающиеся прямые a и b. Внешняя точка не является основанием перпендикуляра: основание должно находиться в плоскости. Поэтому после проведения прямой нужно определить её точку пересечения с α.

1. Используем заданные a и b как опорные прямые: обе лежат в α и пересекаются.
2. Через M проводим прямую l, перпендикулярную направлениям a и b.
3. По признаку перпендикулярности l ⟂ α; обозначим точку пересечения l с α буквой H.
4. Тогда MH — перпендикуляр из M к α, а H — его основание.

Ответ: искомый перпендикуляр — прямая MH; точка H является основанием.

Задача 3. В плоскости α выбраны пересекающиеся прямые a и b. Через точку M вне α проведена прямая l, перпендикулярная a и b. Докажите, что l пересекает α и перпендикулярна ей, а точка пересечения является основанием перпендикуляра. Здесь важно отдельно установить пересечение и применить признак.

1. Так как a и b пересекаются и лежат в α, они являются опорными прямыми для признака.
2. Из условия l ⟂ a и l ⟂ b, поэтому по признаку l ⟂ α.
3. Прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает её; обозначим общую точку H. Поскольку M вне α, H не совпадает с M.
4. По определению H — основание перпендикуляра, а отрезок MH лежит на прямой l.

Ответ: l пересекает α в точке H и перпендикулярна α; H — основание перпендикуляра из M.

Типичные ошибки

Достаточно проверить перпендикулярность только одной прямой плоскости — неверно. Перпендикуляр к ней может быть наклонён к плоскости в другом направлении, поэтому одной проверки недостаточно. Ошибку допускают, когда переносят правило для двух прямых на пространственную фигуру. Проверьте, что найдены две пересекающиеся опорные прямые и перпендикулярность установлена к обеим.

Выбирать две параллельные прямые вместо пересекающихся нельзя. Параллельные прямые показывают одно направление и не удовлетворяют условию признака. Такая ошибка возникает, если считать, что двух линий автоматически достаточно. Перед доказательством убедитесь, что опорные прямые имеют общую точку и лежат в одной плоскости.

Перпендикуляр к одной прямой плоскости не равен перпендикуляру к плоскости. Это смешение возникает из-за того, что прямой угол с выбранной линией заметен на чертеже, а положение относительно всей плоскости проверить сложнее. Убедитесь, что прямая перпендикулярна второй пересекающейся прямой той же плоскости. Только тогда можно применить признак.

Не называйте основанием перпендикуляра точку, из которой его проводят. Из внешней точки M перпендикуляр направлен к плоскости, а основание H находится в месте пересечения с ней. Путаница возникает, если отождествить начало отрезка с его основанием. Для проверки назовите точку на плоскости и убедитесь, что именно она лежит на перпендикуляре.

Связь с другими темами

Для построения нужны определение перпендикулярных прямых, свойства прямого угла и признак перпендикулярности прямой и плоскости. Работа с опорными прямыми опирается на умение проводить перпендикуляры в плоскости и пространстве и учитывать взаимное расположение пересекающихся прямых. Позже это построение поможет находить расстояние от точки до плоскости: оно измеряется длиной перпендикуляра. Оно также понадобится при изучении ортогональной проекции и свойств наклонных.

Что запомнить

• Перпендикуляр к плоскости пересекает её под прямым углом.
• Достаточно установить, что прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
• Опорные прямые должны лежать в одной плоскости и пересекаться.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с плоскостью.
• Из точки вне плоскости к ней можно провести единственный перпендикуляр.
• Отрезок, соединяющий внешнюю точку с плоскостью не под прямым углом, является наклонной.