§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая называется ребром угла, а полуплоскости — его гранями. Такое название помогает описывать взаимное расположение двух плоскостей, которые пересекаются по ребру.

Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно этому ребру и лежащими в гранях. Чтобы получить его, точку выбирают на ребре, а лучи направляют внутрь соответствующих граней. Линейный угол нужен, чтобы измерять двугранный угол с помощью обычного плоского угла.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, образующие двугранный угол величиной 90°. Иными словами, их линейный угол является прямым. Это понятие позволяет точно описывать взаимное положение граней многогранника и других плоскостей.

Признак перпендикулярности плоскостей: если одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Признак удобен тем, что вместо измерения двугранного угла можно доказать перпендикулярность прямой и плоскости. При этом прямая должна целиком лежать в одной из рассматриваемых плоскостей.

Как это устроено

В каждой грани двугранного угла можно провести множество прямых, и угол между произвольными прямыми этих граней не измеряет сам двугранный угол: он будет зависеть от выбранных прямых. Поэтому для измерения используют направления, связанные с ребром одинаковым способом — перпендикулярные ему. Угол между такими направлениями показывает, насколько одна грань повёрнута относительно другой вокруг ребра.

Построение линейного угла начинается с выбора точки на ребре. Через неё в каждой грани проводят луч, перпендикулярный ребру; для этого используют известные свойства перпендикулярных прямых в плоскости. Полученные лучи и образуют угол, вершина которого лежит на ребре. Если лучи не перпендикулярны ребру, условие определения не выполнено, и угол нельзя называть линейным.

Точку для построения разрешено выбирать в любом месте ребра, потому что грани остаются теми же плоскостями, а перпендикулярные ребру направления в них не меняются при переносе вдоль него. В результате соответствующие стороны линейных углов параллельны и направлены одинаково, поэтому углы равны. Значит, измерение не зависит от конкретного места построения. Величина двугранного угла по определению равна величине его линейного угла: например, линейный угол 48° задаёт двугранный угол 48°.

Если линейный угол меньше 90°, двугранный угол называют острым; если он больше 90° и меньше 180° — тупым. При 90° грани образуют прямой двугранный угол, а содержащие их плоскости называют перпендикулярными. Так плоская величина линейного угла позволяет определить характер взаимного расположения плоскостей.

Для доказательства перпендикулярности не всегда нужно непосредственно строить линейный угол. Достаточно найти в одной плоскости прямую и доказать, что она перпендикулярна другой плоскости: тогда по признаку плоскости перпендикулярны. В доказательстве сначала устанавливают, где лежит выбранная прямая, а затем обосновывают её перпендикулярность плоскости, например с помощью двух пересекающихся прямых этой плоскости. Перпендикулярность только к одной прямой плоскости такого вывода не даёт.

Двугранный угол и перпендикулярность плоскостей

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала определи грани и ребро, затем при необходимости построй линейный угол. Для доказательства перпендикулярности плоскостей выбери либо прямой линейный угол, либо признак с перпендикулярной прямой.

Разбор задач

Задача 1

В двугранном угле из точки ребра проведены лучи, перпендикулярные ребру и лежащие в его гранях. Угол между лучами равен 48°. Найдите величину двугранного угла. По условию лучи удовлетворяют определению сторон линейного угла. Поэтому данный угол напрямую задаёт величину двугранного угла.

1. Опознаём угол между лучами как линейный угол двугранного угла.
2. Применяем свойство: величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
3. Получаем величину двугранного угла 48°.

Ответ: 48°.

Задача 2

В кубе укажите две перпендикулярные грани и обоснуйте их перпендикулярность с помощью прямой, лежащей в одной грани. Обозначим нижнюю грань куба ABCD, а боковую — BCC₁B₁. Их общее ребро — BC. Возьмём прямую AB в нижней грани: она перпендикулярна BC и вертикальному ребру BB₁, которое тоже лежит в боковой грани.

1. Отмечаем, что AB лежит в плоскости ABCD.
2. В боковой грани BCC₁B₁ прямые BC и BB₁ пересекаются в точке B.
3. AB перпендикулярна BC и BB₁, значит, AB перпендикулярна плоскости BCC₁B₁.
4. По признаку перпендикулярности плоскостей ABCD и BCC₁B₁ перпендикулярны.

Ответ: например, грани ABCD и BCC₁B₁ перпендикулярны.

Задача 3

В тетраэдре ABCD известно, что AB перпендикулярна плоскости BCD. Докажите, что плоскости ABC и BCD перпендикулярны, и укажите линейный угол образованного ими двугранного угла. Плоскости пересекаются по ребру BC, а прямая AB лежит в плоскости ABC. Значит, условие признака перпендикулярности плоскостей выполнено.

1. По условию AB перпендикулярна плоскости BCD.
2. Поскольку AB лежит в плоскости ABC, по признаку плоскости ABC и BCD перпендикулярны.
3. Для линейного угла берём точку B на ребре BC. В плоскости ABC луч BA перпендикулярен BC: ведь AB перпендикулярна плоскости BCD, а BC лежит в этой плоскости.
4. В плоскости BCD проводим из B луч, перпендикулярный BC. Угол между ним и лучом BA — линейный угол, он равен 90°.

Ответ: плоскости ABC и BCD перпендикулярны; их линейный угол образован лучом BA и лучом плоскости BCD, проведённым из B перпендикулярно BC.

Типичные ошибки

Ошибка: считать величиной двугранного угла угол между любыми прямыми его граней. Такие прямые можно выбрать по-разному, поэтому полученные углы не характеризуют двугранный угол; проверка — убедиться, что обе стороны перпендикулярны ребру.

Ошибка: проводить стороны линейного угла не перпендикулярно ребру. Иногда кажется, что достаточно взять по одной прямой в каждой грани, но тогда нарушено определение; проверь перпендикулярность каждой стороны отдельно.

Ошибка: полагать, что перпендикулярность плоскостей означает перпендикулярность любых прямых в этих плоскостях. Плоскости могут содержать много пар прямых, угол между которыми не равен 90°; проверять нужно линейный угол их двугранного угла либо применять признак.

Ошибка: применять признак, не проверив, где лежит прямая и к чему она перпендикулярна. Перпендикулярности прямой одной плоскости к отдельной прямой другой недостаточно; проверь, что первая прямая лежит в своей плоскости и перпендикулярна всей второй плоскости.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения перпендикулярных прямых и прямой, перпендикулярной плоскости, а также теорема о трёх перпендикулярах. Они помогают строить линейный угол и обосновывать перпендикулярность в пространстве. Новые понятия применяются при доказательстве перпендикулярности граней и построении сечений многогранников. Позже двугранные углы и перпендикулярные плоскости понадобятся в задачах на расстояния и углы.

Что запомнить

• Ребро двугранного угла — общая прямая его граней.
• Линейный угол строят в плоскостях граней перпендикулярно ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Плоскости перпендикулярны, если образуют прямой двугранный угол.
• Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Для применения признака нужно установить перпендикулярность прямой и плоскости, а не только прямой и отдельной прямой этой плоскости.