23. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определения и обозначения

Перпендикулярные плоскости — две пересекающиеся плоскости, образующие прямой двугранный угол. Их обозначают α ⟂ β. Это понятие помогает описать взаимное положение плоскостей, например соседних граней многогранника; по определению такие плоскости обязательно пересекаются.

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой; эта прямая называется ребром двугранного угла. Полуплоскости задают две его грани, а ребро показывает, по какой прямой они соприкасаются. Так можно говорить об угле не между отдельными прямыми, а между плоскостями.

Линейный угол двугранного угла — угол, стороны которого перпендикулярны ребру и лежат в гранях двугранного угла. Его строят в сечении, перпендикулярном ребру. Линейный угол нужен, чтобы измерить двугранный обычным углом, величину которого можно определить на чертеже или вычислить.

Признак перпендикулярности плоскостей — теорема: если одна из двух плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Обозначение a ⊂ α указывает, что прямая a лежит в плоскости α. Признак превращает задачу о двух плоскостях в более привычную задачу о перпендикулярности прямой плоскости.

Как это устроено

У двух пересекающихся плоскостей есть общая прямая — ребро двугранного угла. Чтобы определить угол между ними, проводят в каждой грани луч из точки ребра так, чтобы оба луча были перпендикулярны ребру. Полученный угол называется линейным. Его величина не зависит от выбора точки на ребре: он показывает, насколько наклонены грани друг к другу.

Если прямая a перпендикулярна плоскости β, она пересекает β в некоторой точке и перпендикулярна каждой прямой плоскости β, проходящей через эту точку. Причина в том, что перпендикулярность прямой плоскости означает перпендикулярность всем направлениям, лежащим в плоскости. Поэтому нельзя ограничиваться проверкой прямой a только относительно одной линии в β.

Рассмотрим плоскости α и β, пересекающиеся по прямой c, и прямую a в плоскости α, перпендикулярную плоскости β. Точка пересечения a с β лежит и в α, значит, она принадлежит линии пересечения c. По свойству перпендикулярной прямой a образует прямой угол с прямой c, которая проходит через эту точку. Это объясняет, почему направление a подходит для построения линейного угла между плоскостями.

В каждой грани можно провести через точку ребра прямую, перпендикулярную этому ребру. В грани α такой прямой может служить a, а в грани β — другая прямая. Поскольку a перпендикулярна плоскости β, она перпендикулярна и этой прямой в β. Значит, соответствующий линейный угол двугранного угла прямой; отсюда двугранный угол тоже прямой, и плоскости перпендикулярны.

В задачах теорему используют как готовый путь доказательства: вместо непосредственного построения линейного угла ищут прямую, лежащую в одной нужной плоскости и перпендикулярную другой. Если её перпендикулярность плоскости не дана, её можно установить по двум пересекающимся прямым этой плоскости. После этого остаётся сослаться на признак и записать вывод о плоскостях. Важно указать, в какой плоскости лежит выбранная прямая.

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Пользуйтесь таблицей как цепочкой условий: сначала проверьте, что прямая лежит в одной из рассматриваемых плоскостей, затем установите её перпендикулярность другой плоскости. Только после этого можно сделать вывод о перпендикулярности плоскостей. Одного факта пересечения плоскостей для такого вывода недостаточно.

Разбор задач

Прямая в одной плоскости перпендикулярна другой

Условие. В плоскости α проведена прямая a, перпендикулярная плоскости β. Докажите, что α ⟂ β. Здесь сразу указаны оба условия признака: принадлежность прямой одной плоскости и её перпендикулярность другой. Поэтому искать ещё одну прямую или строить сечение не требуется.

1. По условию a лежит в плоскости α.
2. По условию a ⟂ β.
3. Применяем признак перпендикулярности плоскостей: α ⟂ β.

Ответ: α ⟂ β.

Перпендикулярность по двум прямым

Условие. Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Через A ∈ c в плоскости α проведена прямая a, причём a ⟂ c и a ⟂ b, где b — прямая плоскости β через A. Докажите, что α ⟂ β. Сначала требуется доказать не перпендикулярность плоскостей, а перпендикулярность a плоскости β.

1. Прямые c и b лежат в β и пересекаются в точке A: c проходит через A по условию, b тоже проходит через A.
2. По условию a ⟂ c и a ⟂ b. Значит, a перпендикулярна двум пересекающимся прямым c и b плоскости β.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем a ⟂ β.
4. Прямая a лежит в α. Теперь применяем признак перпендикулярности плоскостей и заключаем, что α ⟂ β.

Ответ: α ⟂ β.

Соседние грани куба

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны. Выбирать нужно прямую, которая лежит в одной из этих плоскостей и перпендикулярна другой. Ребро AA₁ принадлежит боковой грани ABB₁A₁, а стороны AB и AD лежат в основании ABCD.

1. В кубе AA₁ ⟂ AB и AA₁ ⟂ AD: вертикальное ребро перпендикулярно двум сторонам основания, выходящим из точки A.
2. Прямые AB и AD пересекаются в A и лежат в плоскости ABCD. Поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AA₁ ⟂ (ABCD).
3. Прямая AA₁ лежит в плоскости ABB₁A₁. Применяем признак перпендикулярности плоскостей.

Ответ: (ABCD) ⟂ (ABB₁A₁).

Типичные ошибки

Считать достаточным перпендикулярность одной пары прямых. Две прямые, по одной в каждой плоскости, могут быть перпендикулярны, но это ещё не устанавливает угол между самими плоскостями. Ошибку допускают, смешивая перпендикулярность прямых с перпендикулярностью прямой и плоскости. Проверьте себя: доказано ли, что выбранная прямая перпендикулярна всей второй плоскости?

Путать перпендикулярность плоскости и линии пересечения. Если прямая перпендикулярна ребру двугранного угла, это не значит, что она перпендикулярна всей плоскости. Такое условие помогает построить линейный угол, но для применения признака нужно подтвердить перпендикулярность прямой другой плоскости. Проверьте, есть ли доказательство перпендикулярности ещё одной пересекающейся прямой этой плоскости.

Не указывать, в какой плоскости лежит прямая. Даже установленная перпендикулярность a ⟂ β не позволяет применить признак, пока не известно, что a лежит в α. Эту часть доказательства иногда пропускают, потому что она кажется очевидной по чертежу. Проверьте, следует ли принадлежность прямой нужной плоскости из условия, а не только из рисунка.

Считать, что перпендикулярные плоскости не пересекаются. Такое представление возникает из-за смешения перпендикулярных плоскостей с параллельными. По определению перпендикулярные плоскости пересекаются, причём угол между ними прямой. Проверяя ответ, сначала убедитесь, что плоскости имеют общую линию, а затем оцените их двугранный угол.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать, когда прямая перпендикулярна плоскости, и уметь доказывать такую перпендикулярность по двум пересекающимся прямым. Понятие линейного угла связывает эту тему с измерением углов между плоскостями: величину двугранного угла находят через линейный. Признак пригодится при исследовании граней многогранников и в пространственных задачах на углы и расстояния, где взаимное положение плоскостей часто приходится устанавливать через подходящую прямую.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под прямым углом.
• Линейный угол двугранного угла измеряет величину этого двугранного угла.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения.
• Для доказательства перпендикулярности плоскостей достаточно найти в одной из них прямую, перпендикулярную другой плоскости.