Вопросы к главе II

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Угол между скрещивающимися прямыми находят, проводя через одну точку прямые, параллельные каждой из них. Поэтому скрещивающиеся прямые тоже могут быть перпендикулярными: для этого их направления должны образовывать прямой угол.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения — основание перпендикуляра. Это определение позволяет говорить о перпендикулярности прямой и плоскости, даже если выбранная прямая плоскости не пересекает перпендикуляр.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Ортогональная проекция получается, если точки прямой проектировать на плоскость по перпендикулярам к ней. По этому углу удобно описывать, насколько круто наклонена прямая к плоскости.

Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой: полуплоскости называют гранями, а общую прямую — ребром. Чтобы измерить такой угол, рассматривают линейный угол — угол между лучами в гранях, перпендикулярными ребру и выходящими из одной его точки. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.

Как это устроено

Почему для признака перпендикулярности прямой плоскости хватает двух пересекающихся прямых? Их направления задают плоскость: любая прямая, проходящая через точку пересечения, направлена внутри пространства, определённого этими двумя направлениями. Если проверяемая прямая перпендикулярна обоим, она перпендикулярна плоскости. Одной проверки мало: прямой угол с одной прямой ещё не исключает наклон в другом направлении.

Ортогональная проекция точки — основание перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость. Проекцию прямой строят, проектируя на плоскость её точки; если прямая перпендикулярна плоскости, все её точки проектируются в одну точку — основание перпендикуляра. Значит, проекция такой прямой не отрезок, а точка. Для прямой, не перпендикулярной плоскости, проекции её точек лежат на прямой.

Пусть из точки A вне плоскости опущен перпендикуляр AH, а AB — наклонная к плоскости с основанием B. Отрезок HB — проекция наклонной: треугольник AHB прямоугольный, потому что AH перпендикулярен плоскости, а HB лежит в ней. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB², поэтому AB больше AH, если B не совпадает с H. Так объясняется, почему кратчайшее расстояние от точки до плоскости задаёт перпендикуляр.

Теорема о трёх перпендикулярах связывает прямую в плоскости, наклонную к этой плоскости и проекцию наклонной. Если прямая плоскости проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной; верно и обратное. Причина в том, что перпендикуляр к плоскости тоже образует прямой угол с любой прямой плоскости, проходящей через основание. Теорема помогает заменить пространственную проверку более удобной проверкой проекций.

Угол между пересекающимися прямыми читают непосредственно, а для скрещивающихся сначала проводят параллельные им прямые через одну точку. Угол между прямой и плоскостью находят между прямой и её ортогональной проекцией, а не между ней и произвольной прямой плоскости. Чтобы определить угол между плоскостями, находят их двугранный угол и строят линейный угол: в каждой грани выбирают луч перпендикулярно общему ребру.

Перпендикулярность и углы в пространстве

Сначала определите, какие объекты заданы: две прямые, прямая и плоскость или две плоскости. Затем выберите подходящий критерий из таблицы и проверьте, выполнены ли его условия. Особенно внимательно устанавливайте, где проходит основание перпендикуляра и какие прямые пересекаются.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что ребро AA₁ перпендикулярно грани ABCD. Нужно не ограничиваться одним прямым углом: для признака выберем в грани две пересекающиеся прямые, проходящие через A. В кубе боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, но докажем это через свойства его граней.

1. В квадрате ABCD прямые AB и AD пересекаются в точке A.
2. Грань ABB₁A₁ — квадрат, поэтому AA₁ ⟂ AB. Грань ADD₁A₁ также квадрат, поэтому AA₁ ⟂ AD.
3. AB и AD — две пересекающиеся прямые плоскости ABCD. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости AA₁ ⟂ (ABCD).

Ответ: AA₁ перпендикулярно грани ABCD.

Задача 2. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длиной 5 см и наклонная длиной 13 см. Найдите длину проекции наклонной. Обозначим основание перпендикуляра H, а основание наклонной B; тогда проекция — отрезок HB. Получается прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза и один катет.

1. Пусть AH = 5 см, AB = 13 см. Так как AH перпендикулярен плоскости, угол AHB прямой.
2. По теореме Пифагора AB² = AH² + HB², поэтому HB² = 13² − 5² = 144.
3. Длина HB равна √144 = 12 см.

Ответ: проекция наклонной равна 12 см.

Задача 3. В пространственной фигуре прямая b лежит в плоскости α и проходит через основание наклонной AB. Дано, что проекция HB наклонной AB на α перпендикулярна b. Докажите, что AB перпендикулярна b. Здесь уже известна перпендикулярность проекции; нужно проверить, что данные соответствуют теореме о трёх перпендикулярах.

1. Обозначим H основание перпендикуляра AH к плоскости α, а B — основание наклонной AB. Тогда HB — проекция AB на α.
2. По условию b лежит в α, проходит через H и HB ⟂ b. Значит, b перпендикулярна проекции наклонной.
3. По теореме о трёх перпендикулярах b ⟂ AB.

Ответ: AB перпендикулярна b.

Типичные ошибки

Считать прямую перпендикулярной плоскости по одному прямому углу с прямой этой плоскости — ошибка: один угол не проверяет направление плоскости в целом. Так поступают, потому что зрительно одного пересечения кажется достаточно. Для самопроверки найдите ещё одну прямую плоскости, пересекающую первую, и докажите перпендикулярность к ней.

У скрещивающихся прямых нет общей точки, поэтому нельзя измерять угол между ними так, будто они пересекаются в выбранном месте. Иногда за угол принимают угол между произвольными направлениями, хотя не доказано, что они параллельны данным прямым. Проведите через одну точку именно параллельные прямые и измеряйте угол между ними.

Угол между наклонной и её проекцией — это как раз угол между наклонной и плоскостью, а не другой, отличный от него угол. Ошибку вызывает путаница между названием объекта и линией, по которой угол удобно находить. Проверьте себя: проекция должна быть ортогональной, а её отрезок должен лежать в заданной плоскости.

Теорему о трёх перпендикулярах нельзя применять, пока не установлено, что именно является проекцией наклонной и где лежат остальные прямые. Обычно забывают основание наклонной или берут проекцию другой линии. Перед применением подпишите основания, укажите плоскость проекции и убедитесь, что прямая плоскости проходит через нужное основание.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны планиметрические знания: признаки перпендикулярности и параллельности прямых, свойства углов и теорема Пифагора. Пространственные проекции и признак перпендикулярности прямой плоскости позволяют переносить знакомые рассуждения на объёмные фигуры. Эти инструменты помогают находить расстояния и углы в многогранниках и их сечениях, а также решать стереометрические задачи, которые изучаются дальше.

Что запомнить

• Для признака перпендикулярности прямой плоскости достаточно двух пересекающихся прямых этой плоскости.
• Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче любой наклонной, проведённой из этой точки.
• Проекция наклонной вместе с наклонной и перпендикуляром образует прямоугольный треугольник.
• Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией.
• Теорема о трёх перпендикулярах связывает перпендикулярность наклонной и прямой с перпендикулярностью их проекций.
• Величину двугранного угла измеряют его линейным углом.