"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Пирамида — многогранник с многоугольником в основании и треугольными боковыми гранями, сходящимися в одной вершине. Её изучают, чтобы описывать форму пространственных тел и находить их элементы, площади и объёмы. Главное — не путать высоту с боковым ребром: высота перпендикулярна плоскости основания. У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а апофема помогает вычислять свойства боковых граней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Например, если в основании треугольник, у пирамиды три боковые грани. Такое определение помогает отличить пирамиду от других многогранников: её боковая поверхность сходится к одной точке.
Основание пирамиды — многоугольная грань, а вершина пирамиды — общая вершина её боковых треугольных граней. Основание задаёт форму нижней части тела, а вершину обозначают обычно заглавной буквой, например S. Это различие нужно, чтобы правильно называть грани и рёбра.
Боковое ребро пирамиды — ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершиной основания. Если вершина обозначена S, а основание — ABC, боковыми рёбрами будут SA, SB и SC. По ним можно определить, какие точки соединены в пространственной фигуре, но не следует принимать любое такое ребро за высоту.
Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через его центр. Например, правильная четырёхугольная пирамида имеет квадрат в основании. Это условие позволяет использовать симметрию и находить общие свойства её боковых граней.
Чтобы получить пирамиду, возьмём многоугольник и точку вне плоскости, в которой он лежит. Соединим эту точку с каждой вершиной многоугольника: между соседними соединяющими отрезками и стороной основания образуется треугольник. Эти треугольники и становятся боковыми гранями, потому что каждый опирается на сторону основания, а все они сходятся в выбранной точке. Сам многоугольник остаётся основанием.
Число боковых граней равно числу сторон основания: каждой стороне соответствует ровно один треугольник, который опирается на эту сторону. Число боковых рёбер равно числу вершин основания, поскольку от вершины пирамиды проводится отрезок к каждой из них. У многоугольника число сторон и вершин одинаково, поэтому числа боковых граней и рёбер тоже совпадают. Например, у пятиугольной пирамиды пять боковых граней и пять боковых рёбер.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания; его длину обычно обозначают h. Перпендикулярность нужна потому, что именно кратчайшее расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром. Боковое ребро соединяет вершину с отдельной вершиной основания и обычно наклонено к плоскости, поэтому его длина не равна высоте. Только если основание перпендикуляра совпало с вершиной основания, высота может оказаться боковым ребром.
У правильной пирамиды вершина расположена над центром правильного основания. Центр основания одинаково удалён от всех его вершин, а боковые рёбра поэтому равны; вместе с равными сторонами основания это даёт равные равнобедренные боковые треугольники. Апофема — высота такой грани, проведённая от вершины к стороне основания. Если h — высота пирамиды, r — радиус вписанной в основание окружности, а l — апофема, то l² = h² + r²: эти отрезки образуют прямоугольный треугольник.
На чертеже сначала отметь многоугольник основания и отдельную вершину пирамиды, затем проследи, какие отрезки их соединяют. Треугольники, имеющие общую вершину пирамиды и опирающиеся на стороны основания, — боковые грани; соединяющие вершину с вершинами основания отрезки — боковые рёбра. Высоту изображают от вершины перпендикулярно плоскости основания, часто внутри тела. Например, пирамиду с вершиной S и основанием ABCD обозначают SABCD.
| Элемент или свойство | Пирамида | Правильная пирамида |
|---|---|---|
| Основание | Любой многоугольник | Правильный многоугольник |
| Боковые грани | Треугольники с общей вершиной | Равные равнобедренные треугольники |
| Боковые рёбра | Соединяют вершину с вершинами основания | Равны между собой |
| Положение высоты | Перпендикулярна плоскости основания | Перпендикулярна основанию и проходит через его центр |
| Апофема | Специально не определяется | Высота боковой грани |
В таблице удобно сначала проверить, какие свойства верны для любой пирамиды, а какие появляются только при условии правильности. Если задача сообщает, что пирамида правильная, можно использовать равенство боковых рёбер и симметрию основания. Апофему рассматривают именно для правильной пирамиды.
Начертите четырёхугольную пирамиду SABCD и укажите её основание, вершину, боковые грани и боковые рёбра. Удобно представить четырёхугольник ABCD внизу, а точку S вне его плоскости. Затем соединить S с A, B, C и D. Каждая пара соседних вершин основания вместе с S задаёт одну боковую грань.
Ответ: основание ABCD, вершина S; боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA; боковые рёбра SA, SB, SC, SD.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро — 5. Найдите высоту и апофему. Центр основания равноудалён от вершин равностороннего треугольника, поэтому высота вместе с радиусом описанной окружности и боковым ребром образует прямоугольный треугольник. Для апофемы понадобится другой прямоугольный треугольник — в боковой грани.
Ответ: высота равна √13, апофема равна 4.
Основание пирамиды — квадрат со стороной 10, высота равна 12. Найдите объём. Для объёма нужна площадь основания и перпендикулярная ему высота, а не боковое ребро. Используем формулу V = ⅓Sh.
Ответ: 400 кубических единиц.
Считать боковое ребро высотой. Ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а высота должна быть перпендикулярна всей плоскости основания. Путаница возникает из-за того, что на плоском чертеже пространственные направления не всегда очевидны. Проверь, отмечен ли прямой угол между высотой и основанием; если нет, не подставляй боковое ребро вместо высоты.
Называть основанием боковую грань. Основание — многоугольник, к которому примыкают все боковые грани; отдельный треугольник с общей вершиной является боковой гранью. Ошибка возможна, если фигуру рассматривают только по её контуру на рисунке. Проверь, какая грань не содержит вершину пирамиды: именно она обозначает основание.
Полагать, что любая пирамида правильная. Для правильной пирамиды необходимы сразу два условия: основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Иногда симметричный вид рисунка ошибочно принимают за доказательство. Сверься с условием и проверь оба свойства, прежде чем применять формулы для правильной пирамиды.
Путать апофему с высотой пирамиды. Апофема — высота боковой грани, а высота пирамиды опущена на плоскость основания. Их путают, потому что обе величины являются перпендикулярами, но перпендикулярны они разным отрезкам или плоскостям. На чертеже проследи, куда приходит отрезок: к стороне основания внутри грани — апофема, к плоскости основания — высота пирамиды.
Для работы с пирамидами нужны знания о вершинах и сторонах многоугольника. Свойства правильных многоугольников помогают находить расстояния от центра основания до вершин и сторон. Поэтому перед задачами на правильную пирамиду полезно вспомнить радиусы описанной и вписанной окружностей.
Высота пирамиды связана с понятием перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Это понятие используют и при изучении других многогранников, а также в задачах на расстояния и углы. Умение различать перпендикуляр и наклонный отрезок помогает выбрать нужную длину в вычислениях.
Формула объёма V = ⅓Sh связывает площадь основания с высотой тела. Она нужна для сравнения объёмов и решения задач, где по двум величинам требуется найти третью. При вычислениях важно согласовать единицы: длины, площади и объёмы выражаются соответственно в единицах, квадратных и кубических единицах.
Чем пирамида отличается от призмы?
У пирамиды одно основание, а её боковые грани — треугольники с общей вершиной. У призмы два равных параллельных основания, а боковые грани — параллелограммы.
Может ли высота пирамиды совпадать с боковым ребром?
Да, если перпендикуляр из вершины пирамиды к плоскости основания попадает в вершину основания. В этом частном случае боковое ребро и высота — один отрезок.
Что называют апофемой пирамиды?
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины к стороне основания. Она перпендикулярна этой стороне и не является высотой всей пирамиды.
Как понять по чертежу, что пирамида правильная?
Нужно знать, что её основание — правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Одного внешнего вида чертежа недостаточно: эти свойства должны быть указаны или следовать из условия.
Почему объём пирамиды составляет треть объёма соответствующей призмы?
Если у пирамиды и призмы одинаковы площадь основания и высота, объём пирамиды равен ⅓ объёма призмы. Это следует из геометрического соотношения объёмов тел с одинаковой высотой и основанием; для призмы V = Sh, а для пирамиды V = ⅓Sh.
32. Пирамида
