§ 2 Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной вне плоскости основания. Представь многоугольник и точку над ним: если соединить точку с вершинами многоугольника, получится пирамида. Это определение помогает отличить её от других многогранников.

Основание пирамиды — многоугольник, лежащий в одной плоскости и задающий форму нижней грани. Оно определяет, сколько у пирамиды боковых граней и рёбер. Например, у пятиугольного основания пять сторон, к каждой из которых примыкает боковая грань.

Боковая грань — треугольная грань пирамиды, а боковое ребро — сторона этой грани, соединяющая вершину пирамиды с вершиной основания. Грань — это часть поверхности, а ребро — отрезок, по которому встречаются грани. Различать их нужно, чтобы правильно считать элементы и выбирать нужную длину в задаче.

Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через его центр. Такое расположение вершины над центром основания задаёт симметрию пирамиды. Благодаря ей можно использовать свойства правильного многоугольника и равенство расстояний от центра до его вершин.

Как это устроено

Чтобы построить пирамиду, возьми многоугольник и точку, не лежащую в его плоскости. Соедини эту точку с каждой вершиной основания: между каждой парой соседних вершин и общей точкой появится треугольник. Именно поэтому все боковые грани пирамиды треугольные, а их вершины сходятся в одной точке. Если точка окажется в плоскости основания, объёмная пирамида не получится.

У основания с n сторонами есть n вершин, и из вершины пирамиды к каждой из них ведёт боковое ребро. Соседние боковые рёбра вместе со стороной основания ограничивают треугольную грань, поэтому боковых граней тоже n. Кроме этих треугольников есть само основание — отсюда общее число граней n + 1. Это правило работает для основания с любым числом сторон, начиная с треугольника.

Высоту проводят из вершины пирамиды перпендикулярно плоскости основания. Её конец может попасть внутрь основания, на его границу или за пределы многоугольника — положение зависит от формы пирамиды. Боковое ребро, напротив, обязательно заканчивается в одной из вершин основания. В общем случае оно наклонено к плоскости основания, поэтому его длину нельзя автоматически считать высотой.

У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, у которого есть центр, равноудалённый от всех вершин. По определению правильной пирамиды её высота проходит через этот центр. Если соединить вершину пирамиды с центром основания и с вершиной основания, получится прямоугольный треугольник: высота перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, проходящей через её основание. Поэтому боковое ребро можно найти по теореме Пифагора, зная высоту и расстояние от центра основания до его вершины.

Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая к стороне основания. В равнобедренном треугольнике боковой грани эта высота попадает в середину стороны основания. Апофема лежит в боковой грани, а высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, поэтому это разные отрезки. Вместе с высотой пирамиды и расстоянием от центра основания до стороны апофема образует прямоугольный треугольник.

Элементы пирамиды и их признаки

Сначала найди в условии, о каком элементе идёт речь: например, «наклонное ребро» и «перпендикуляр к основанию» — не одно и то же. Затем сверь его расположение и признак с таблицей. Так проще выбрать нужный прямоугольный треугольник для вычислений.

Разбор задач

Задача 1. Пирамида имеет пятиугольное основание. Сколько у неё боковых граней, боковых рёбер и граней всего? Число сторон основания равно пяти, поэтому применяем правила для n-угольной пирамиды: боковых граней и рёбер n, а граней всего n + 1.

1. Подставляем n = 5: боковых граней 5.
2. Число боковых рёбер тоже равно n, значит, их 5.
3. Считаем общее число граней: 5 + 1 = 6.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 граней всего.

Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота — 4. Найдём боковое ребро. Основание — квадрат, а высота опускается в его центр. Отрезок от центра квадрата до вершины равен половине диагонали: диагональ квадрата равна 6√2, значит, этот отрезок равен 3√2.

1. Рассматриваем треугольник из вершины пирамиды, центра основания и вершины квадрата. Он прямоугольный: высота перпендикулярна основанию.
2. Катеты равны 4 и 3√2, а боковое ребро — гипотенуза. По теореме Пифагора получаем l² = 4² + (3√2)² = 16 + 18 = 34.
3. Так как длина положительна, l = √34.

Ответ: √34.

Задача 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а апофема — 5. Найдём высоту. Сначала нужно найти расстояние от центра равностороннего треугольника до его стороны: оно равно радиусу вписанной окружности, то есть половине высоты треугольника. Высота основания равна 3√3, поэтому искомое расстояние равно 3√3 / 2.

1. Проводим сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину стороны основания. В нём апофема равна 5, расстояние от центра до стороны — 3√3 / 2, а высота пирамиды перпендикулярна этому расстоянию.
2. По теореме Пифагора h² + (3√3 / 2)² = 5². Тогда h² = 25 − 27 / 4 = 73 / 4.
3. Берём положительный корень: h = √73 / 2.

Ответ: √73 / 2. Апофема здесь была гипотенузой сечения, а не высотой пирамиды.

Типичные ошибки

Боковую грань иногда называют боковым ребром. Это происходит потому, что оба элемента находятся на боковой поверхности, но грань — целый треугольник, а ребро — его сторона. Проверь себя: если элемент имеет площадь и ограничен сторонами, это грань; если это отрезок, это ребро.

Боковое ребро можно ошибочно принять за высоту, особенно если на рисунке они выглядят почти вертикальными. Но ребро соединяет две вершины, а высота обязана быть перпендикулярна плоскости основания. Проверяй наличие прямого угла с плоскостью, а не только направление отрезка на рисунке.

Из слова «правильная» иногда делают вывод, что все боковые рёбра равны по одному лишь названию. Само определение задаёт правильное основание и прохождение высоты через его центр, а равенство рёбер получается из равных расстояний от центра до вершин основания. Чтобы проверить вывод, сравни прямоугольные треугольники с общей высотой и равными отрезками от центра до вершин.

Апофему принимают за высоту пирамиды, потому что обе длины часто нарисованы внутри фигуры. Апофема лежит в боковой грани и перпендикулярна стороне основания, а высота перпендикулярна плоскости основания. Уточни, к какой прямой или плоскости проведён прямой угол: это сразу покажет, какой отрезок дан.

Связь с другими темами

Для изучения пирамид пригодятся знания об элементах многоугольника и свойствах правильных многоугольников: они помогают находить стороны, диагонали и расстояния от центра до вершин или сторон. Также нужно понимать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости, чтобы отличать высоту от наклонного ребра. При вычислениях в прямоугольных сечениях используют теорему Пифагора. Позже понятие пирамиды понадобится при изучении площади поверхности и объёма многогранников.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник, боковые грани — треугольники.
• У n-угольной пирамиды n боковых граней и n боковых рёбер.
• Всего у n-угольной пирамиды n + 1 грань.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.
• Апофема правильной пирамиды — высота боковой грани.