24.1. Характерные свойства выпуклых многогранников

Определения и обозначения

Выпуклый многогранник — тело, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок между ними. Иначе говоря, отрезок не может пройти через пустоту или выйти наружу, если его концы находятся в теле. Это строгое условие отличает выпуклость от простого впечатления, что у фигуры нет заметных «вмятин» на рисунке. По нему можно проверить выпуклость, не полагаясь на внешний вид.

Грань — многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника. Плоскость, в которой лежит грань, служит опорной плоскостью: весь многогранник находится по одну сторону от неё, а сама плоскость касается тела по грани. Это свойство помогает описывать положение грани относительно всего тела и проверять его выпуклость. Грани вместе составляют поверхность многогранника.

Ребро — сторона грани, общая для двух соседних граней. Оно показывает, где одна часть поверхности переходит в другую, поэтому выступает общей границей этих граней. Для выпуклого многогранника каждое ребро принадлежит ровно двум граням. Это позволяет точно учитывать соседство граней.

Вершина — общая точка нескольких рёбер и граней многогранника. В ней сходятся части поверхности, а плоские углы граней образуют пространственный угол. В каждой вершине должно сходиться как минимум три ребра. Понятие вершины нужно, чтобы описывать соединение элементов и проверять, может ли заданная конфигурация принадлежать выпуклому многограннику.

Как это устроено

Рассмотрим плоскость, содержащую одну из граней. Если часть тела оказалась бы по обе стороны этой плоскости, можно было бы выбрать точки тела по разные стороны от неё. Отрезок между такими точками пересёк бы плоскость за пределами грани, что противоречит выпуклости и устройству поверхности. Поэтому многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой грани, а эта плоскость является опорной.

Каждая грань плоская, а многогранник выпуклый, поэтому пересечение граней не может быть произвольной областью. Если две грани имеют общие точки, то они либо соприкасаются в одной вершине, либо имеют общую сторону — ребро. Пересечение по части плоскости невозможно: оно означало бы, что грани перекрываются, а не образуют отдельные участки поверхности. Так обеспечивается согласованное соседство граней.

Возьмём внутреннюю точку ребра, не являющуюся вершиной. Поверхность многогранника проходит через эту точку и по обе стороны от ребра продолжается как плоские участки. С каждой стороны находится одна грань: если бы с одной стороны прилегало несколько граней, их границы пересекались бы не только по допустимому ребру. Если бы грань была лишь с одной стороны, поверхность имела бы край и не замыкалась бы. Поэтому у каждого ребра ровно две прилегающие грани.

В вершине сходятся рёбра и ограниченные ими грани. Одного ребра недостаточно, чтобы образовать замкнутое окружение вершины, а двух — чтобы ограничить участок поверхности со всех сторон: у вершины остался бы незамкнутый край. Для многогранника требуется не менее трёх рёбер. Их плоские углы должны вместе составлять выпуклый пространственный угол, поэтому их сумма меньше 360°; при сумме 360° поверхность в этой точке распрямилась бы.

Грани соединяются по общим рёбрам, а рёбра сходятся в вершинах. В результате поверхность замыкается: она не имеет свободных краёв и не обрывается между гранями. Выпуклость также исключает самопересечения: поверхность не может проходить сквозь саму себя, сохраняя условие об отрезках между точками тела. Поэтому грани образуют единую поверхность без разрывов и самопересечений.

Характерные свойства выпуклого многогранника

Пользуйся таблицей как списком проверок: сначала определи, какие элементы рассматриваются, затем сопоставь их с характерным свойством. Если условие нарушено, заданная конфигурация не может быть частью выпуклого многогранника. Свойства относятся к выпуклому телу, а не только к тому, как оно выглядит на плоском рисунке.

Разбор задач

Общая часть двух граней

Условие. У выпуклого многогранника две грани имеют общую часть. Определить, какой она может быть. Важно выяснить не форму самих граней, а допустимое пересечение участков поверхности.

1. Рассматриваем грани как многоугольники на поверхности одного тела. Их общая часть должна принадлежать обеим граням.
2. По свойству выпуклого многогранника грани не могут перекрываться по области. Допустимы только соприкосновение в общей вершине или наличие общей стороны.
3. Общая сторона двух граней является ребром многогранника. Других вариантов пересечения это свойство не оставляет.

Ответ. Общая часть может быть общей вершиной или общим ребром.

Сколько граней прилегает к ребру

Условие. Проверить, может ли ребро выпуклого многогранника принадлежать трём граням. Нужно отличать наличие нескольких соседних граней в целом от числа граней, непосредственно прилегающих к одному ребру.

1. Рассмотрим внутреннюю точку ребра. В ней поверхность продолжается по обе стороны от ребра.
2. С одной стороны находится одна прилегающая грань, а с другой — вторая. Если бы с той же стороны было несколько граней, поверхность не образовывала бы обычную границу многоугольников по этому ребру.
3. Следовательно, у каждого ребра ровно две прилегающие грани. Третья грань не может иметь это же ребро своей стороной, не нарушив такое строение поверхности.

Ответ. Нет, ребро не может принадлежать трём граням: у него ровно две прилегающие грани.

Углы при вершине

Условие. В вершине многогранника сходятся три плоских угла по 120°. Определить, может ли эта вершина принадлежать выпуклому многограннику. Здесь достаточно сравнить сумму углов с установленным ограничением.

1. Складываем углы: 120° + 120° + 120° = 360°.
2. Для вершины выпуклого многогранника сумма плоских углов должна быть строго меньше 360°. Равенство граничному значению условие не выполняет.
3. Значит, такая конфигурация не образует выпуклый пространственный угол. Само наличие трёх рёбер этого не меняет.

Ответ. Нет, вершина с тремя углами по 120° не может принадлежать выпуклому многограннику.

Типичные ошибки

• Считать выпуклость просто отсутствием «вмятин» на рисунке — ненадёжно: проекция объёмного тела на плоскость может скрывать его форму. Такая ошибка возникает, когда проверяют только изображение, а не определение. Проверь себя: для любых двух точек тела должен целиком лежать в нём соединяющий их отрезок.

• Допускать, что две грани пересекаются по части плоскости, — значит смешивать общую границу с перекрытием. Это можно представить по рисунку, где грани наложились друг на друга. Проверь, что общая часть именно выпуклого многогранника — только вершина или ребро.

• Полагать, что ребро может принадлежать одной или более чем двум граням, — значит не учитывать устройство поверхности вокруг его внутренней точки. Ошибка появляется, если считать только видимые грани на чертеже. Проверь две стороны ребра: с каждой прилегает по одной грани, всего их две.

• Считать допустимой сумму углов при вершине, равную 360°, — значит заменить строгое неравенство нестрогим. Равенство кажется возможным, потому что углы в плоскости как раз дают полный оборот. Проверь сумму отдельно: для выпуклой вершины она должна быть меньше 360°, а не равна ему.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать, что такое многогранник, его грани, рёбра и вершины, а также понимать определение выпуклой фигуры. Эти понятия позволяют сформулировать свойства поверхности без обращения к чертежу. Дальше они используются при доказательстве теорем о многогранниках и при решении задач на их строение и подсчёт элементов. Например, чтобы считать грани и рёбра, сначала нужно правильно установить, какие элементы являются соседними.

Что запомнить

• Выпуклый многогранник целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой грани.
• Две грани пересекаются только по общей вершине или общему ребру.
• Каждое ребро принадлежит ровно двум граням.
• В каждой вершине сходятся не менее трёх рёбер.
• Сумма плоских углов при вершине меньше 360°.
• Грани выпуклого многогранника образуют замкнутую поверхность.