24.2. Грани и сечения выпуклого многогранника

Определения и обозначения

Выпуклый многогранник — многогранник, целиком расположенный по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Иными словами, внутри него нет «впадин», а отрезок между любыми двумя его точками не выходит наружу. Это свойство позволяет рассуждать о сечениях и быть уверенным, что они не распадаются на отдельные части.

Грань многогранника — многоугольник, являющийся частью плоскости, ограничивающей многогранник с одной стороны. Например, у куба гранью служит каждый из шести квадратов. Грани показывают, какими плоскими участками ограничено тело, и помогают строить линии пересечения с другими плоскостями.

Опорная плоскость — плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника и оставляющая весь многогранник по одну сторону от себя. Она касается многогранника по грани, не проходя через его внутренние точки. Это понятие отличает плоскость грани от плоскости, которая разрезает многогранник изнутри.

Сечение многогранника — многоугольник, полученный пересечением многогранника с плоскостью. Вершины и стороны такого многоугольника образуются там, где секущая плоскость встречается с рёбрами и гранями. Сечения нужны, чтобы изображать внутреннее устройство тела и решать геометрические задачи о его частях.

Как это устроено

Плоскость каждой грани выпуклого многогранника оставляет тело по одну сторону, потому что граница не может проходить сквозь его внутренность и одновременно быть частью поверхности. Такая плоскость называется опорной. Сама грань является выпуклым многоугольником: если взять две её точки, соединяющий их отрезок останется внутри грани. Иначе участок поверхности имел бы вогнутость, несовместимую с выпуклостью многогранника.

Сечение выпукло по той же причине, что и сам многогранник. Возьмём две точки сечения: обе лежат внутри многогранника и в одной секущей плоскости. Отрезок между ними целиком принадлежит многограннику, поскольку он выпуклый, и одновременно лежит в секущей плоскости. Следовательно, весь отрезок принадлежит сечению. При обычном положении плоскости получается выпуклый многоугольник; если плоскость касается тела или проходит через отдельные рёбра, сечение может выродиться в отрезок или точку.

Вершины многоугольника сечения появляются там, где плоскость пересекает рёбра многогранника; иногда вершина сечения совпадает с вершиной самого тела. На каждой грани пересечение секущей плоскости с плоскостью грани даёт прямую, а внутри грани эта прямая ограничена отрезком. Отрезки, полученные на соседних гранях, встречаются у общего ребра или вершины и образуют стороны и вершины сечения. Так получается замкнутая ломаная, ограничивающая часть плоскости внутри многогранника.

Сторона сечения расположена в грани, потому что именно внутри грани проходит участок линии пересечения двух плоскостей. Её концы лежат на рёбрах этой грани; если плоскость проходит через вершину многогранника, конец может совпасть с ней. Поэтому точки сечения соединяют не произвольно, а только в пределах одной грани. В результате вершины оказываются на рёбрах или в вершинах тела, а стороны — на его гранях.

Грань и сечение связаны, но не тождественны. Если плоскость является опорной, то пересечение многогранника с ней даёт грань; плоскость не заходит внутрь тела. Если же плоскость проходит через внутренние точки многогранника, она разрезает его и обычно образует многоугольник, который не является гранью. Следовательно, грань можно считать частным случаем сечения, но не всякое сечение — грань.

Сравнение грани и сечения выпуклого многогранника

Сначала определите положение плоскости: опорная она или пересекает внутренность многогранника. Затем сравните, где проходят стороны и где лежат вершины полученной фигуры. Таблица помогает не путать грань с произвольным сечением.

Разбор задач

Сечение куба плоскостью через A, C и B₁

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскость проходит через точки A, C и B₁. Нужно построить многоугольник сечения. Чтобы не соединять точки наугад, проверяем, какие из них лежат на одной грани и какие грани пересекает плоскость. В итоге границы сечения образуются отрезками внутри граней куба.

1. Точки A и C принадлежат нижней грани ABCD, поэтому отрезок AC является частью сечения в этой грани.
2. Точки C и B₁ лежат на одной боковой грани BCC₁B₁. Соединяем их отрезком CB₁.
3. Точки B₁ и A лежат на грани ABB₁A₁. Проводим отрезок B₁A: он замыкает сечение.
4. Проверяем остальные грани: плоскость не добавляет новых точек пересечения с рёбрами, поэтому полученная ломаная является границей всего сечения.

Ответ: треугольник ACB₁. Каждая его сторона расположена в одной грани куба, а все три заданные точки принадлежат секущей плоскости.

Сечение треугольной призмы

Пусть плоскость проходит через вершину одной треугольной грани и две заданные точки на рёбрах другой грани призмы. Требуется построить сечение и определить число его сторон. Точные названия рёбер и положение точек задаются в условии задачи, поэтому окончательное число сторон зависит от них. Построение опирается на параллельность соответствующих рёбер призмы.

1. На каждой грани, содержащей две известные точки сечения, проведите отрезок между ними: это след секущей плоскости на данной грани.
2. Дойдя до ребра, переходите на соседнюю боковую грань. Если известно направление параллельного ребра, используйте его, чтобы восстановить линию пересечения плоскостей.
3. Продолжайте построение по граням, отмечая новые пересечения с рёбрами. Каждую новую сторону проводите только внутри грани.
4. Замкните ломаную и сосчитайте её стороны. Вершину, совпавшую с вершиной призмы, считайте один раз.

Ответ: сечение — замкнутый выпуклый многоугольник; число его сторон равно числу полученных последовательных отрезков. Без указания конкретных рёбер и точек определить это число нельзя.

Сечение пирамиды плоскостью MNP

В пирамиде SABCD точки M и N лежат на рёбрах SA и SC, а P — на ребре AB. Требуется построить сечение плоскостью MNP и обосновать выпуклость результата. Рассмотрим основание ABCD как выпуклый четырёхугольник и используем след плоскости на каждой пересекаемой грани. Это позволяет найти недостающую точку на ребре, не проводя линий через несоседние грани.

1. На грани SAC проведите MN — линию пересечения этой грани с секущей плоскостью.
2. На грани SAB плоскость проходит через M и P. Продлите MP до пересечения с ребром SB; полученную точку обозначьте Q.
3. На грани SBC проведите линию NQ. Она пересекает ребро BC в точке R.
4. На основании ABCD соедините P и R. Ломаная M–N–R–P–M замыкает сечение: её звенья лежат соответственно в гранях SAC, SBC, ABCD и SAB.

Ответ: сечение — четырёхугольник MNRP. Он выпуклый, поскольку является невырожденным сечением выпуклой пирамиды плоскостью; его стороны образованы отрезками внутри граней.

Типичные ошибки

Соединяют любые найденные точки. Так поступают, если не проверяют, на какой грани лежит каждый отрезок. Сторона сечения должна идти внутри одной грани, поэтому перед проведением отрезка отметьте общую грань его концов и убедитесь, что отрезок не выходит за её границы.

Называют гранью любое сечение. Ошибка возникает из-за того, что и грань, и сечение являются многоугольниками. Проверьте положение плоскости: грань получается только в опорной плоскости, оставляющей тело с одной стороны; плоскость, проходящая сквозь внутренность тела, даёт не грань, а обычное сечение.

Пропускают пересечение плоскости с ребром или проводят сторону через неподходящую вершину. Обычно это происходит, когда строят фигуру только по заданным точкам и не проверяют рёбра соседних граней. Проследите след плоскости по всем граням, через которые проходит сечение, и включайте вершину многогранника только тогда, когда она лежит в секущей плоскости.

Считают, что число сторон сечения равно числу граней многогранника. Такое предположение не учитывает положение секущей плоскости: она может пересечь лишь часть граней или пройти через вершины. Для проверки перечислите все грани, в которых проходит сторона сечения, и посчитайте стороны замкнутой ломаной, а не грани всего тела.

Связь с другими темами

Для изучения сечений нужны понятия выпуклой фигуры, многогранника, его граней, рёбер и вершин. Также пригодятся свойства пересечения прямых и плоскостей: по ним находят след секущей плоскости на грани. Построение сечений опирается на умение использовать параллельность прямых, особенно в призмах.

Эти навыки применяются при дальнейшем изучении построения сечений и вычислении площадей поверхностей и объёмов многогранников. Найденное сечение помогает выделить часть тела и понять, как она связана с его гранями. Точное построение важно и для геометрического чертежа, и для решения расчётных задач.

Что запомнить

• Грань выпуклого многогранника лежит в его опорной плоскости.
• Сечение выпуклого многогранника плоскостью является выпуклым многоугольником, если оно невырожденно.
• Вершины сечения находятся на рёбрах многогранника или совпадают с его вершинами.
• Стороны сечения лежат в гранях многогранника.
• Стороны сечения соединяют точки пересечения секущей плоскости с рёбрами, принадлежащими одной грани.
• Грань — частный случай сечения, а не каждое сечение является гранью.