§ 20. Осевая симметрия

Определения и обозначения

Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором каждой точке сопоставляется точка, симметричная ей относительно заданной прямой. Преобразование показывает, как расположение точек меняется при отражении. Оно нужно, чтобы строить образы геометрических объектов и сравнивать фигуру с её отражением.

Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется отражение. Она задаёт направление, по которому точка и её образ располагаются друг относительно друга. Без выбранной оси нельзя однозначно определить, куда переместится точка.

Точки, симметричные относительно оси, лежат на одном перпендикуляре к ней, по разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё. Поэтому прямая-ось проходит через середину отрезка между такими точками и образует с ним прямой угол. Это свойство служит основой построения и проверки симметричных точек.

Точка, лежащая на оси симметрии, при отражении переходит сама в себя. Её расстояние до оси равно нулю, поэтому расположить её образ на другой стороне на таком же расстоянии можно только в том же месте. Это помогает понять, какие части фигуры остаются неподвижными.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A относительно прямой l, проведи из A перпендикуляр к l и отметь точку A′ на другой стороне прямой. Расстояние от A′ до l должно быть равно расстоянию от A до l. Такая конструкция работает потому, что l проходит через середину AA′ и перпендикулярна этому отрезку, то есть является его серединным перпендикуляром. Следовательно, точка на оси одинаково удалена от A и A′, а отражение меняет стороны, сохраняя расстояние.

Образ отрезка AB получают, построив образы A′ и B′ его концов и соединив их. Чтобы объяснить сохранение длины, рассмотрим треугольники, образованные концами отрезка и основаниями перпендикуляров к оси: соответствующие расстояния до оси равны, а углы при основании прямые. При отражении сохраняются расстояния между точками, поэтому A′B′ = AB. Таким образом, отражённый отрезок равен исходному, даже если он направлен в другую сторону.

Образ фигуры строится отражением каждой её точки относительно оси. Для многоугольника достаточно построить образы вершин: стороны между соседними вершинами переходят в соответствующие стороны, поэтому затем вершины соединяют в прежнем порядке. Все точки стороны при этом переходят в точки образа этой стороны, а не только её концы. Такой способ позволяет построить фигуру целиком, не отмечая бесконечно много точек по отдельности.

Осевая симметрия сохраняет расстояния между точками, а значит, сохраняет длины отрезков и величины углов. Прямая переходит в прямую, потому что её точки после отражения остаются связанными тем же правилом, а окружность — в окружность с таким же радиусом. Следовательно, отражённые фигуры равны исходным: совпадают их соответствующие стороны и углы. Именно поэтому осевую симметрию можно применять для сравнения фигур и переноса геометрических свойств.

Если при отражении относительно прямой фигура переходит сама в себя, эта прямая является её осью симметрии. Например, у прямоугольника осью служит прямая через середины противоположных сторон, параллельных друг другу; у квадрата таких осей несколько. У равнобедренного треугольника ось проходит через вершину между равными сторонами и середину основания. Проверять нужно всю фигуру: одной только связи прямой с её центром недостаточно.

Основные свойства осевой симметрии

Пользуйся таблицей как памяткой: сначала определи, рассматривается точка на оси или вне её, затем примени нужное свойство. При построении целой фигуры опирайся на сохранение расстояний и углов, а при поиске оси проверяй, совпадает ли отражённая фигура с исходной.

Разбор задач

Построить точку, симметричную данной точке относительно заданной прямой

Условие: дана точка A и прямая l, требуется построить точку A′, симметричную A относительно l. Нужно определить не только сторону расположения образа, но и точное расстояние до оси. Для этого используем перпендикуляр и равные отрезки.

1. Проведи из A перпендикуляр к прямой l и обозначь точку пересечения H. Точка H — основание перпендикуляра, поэтому AH измеряет расстояние от A до оси.
2. Продолжи прямую AH за l. На продолжении отметь A′ так, чтобы HA′ = HA. Равное расстояние и противоположная сторона обеспечивают правильное положение образа.
3. Проверь, что l перпендикулярна AA′ и проходит через его середину H. Это подтверждает, что l — серединный перпендикуляр к отрезку AA′.

Ответ: A′ — точка на перпендикуляре к l по другую сторону оси, для которой HA′ = HA.

Построить образ треугольника и определить соответствующие стороны и углы

Условие: дан треугольник ABC и ось l. Требуется построить отражённый треугольник и установить, чему равны его стороны и углы. Поскольку треугольник задаётся вершинами, начинать удобнее с них.

1. Построй точки A′, B′ и C′, симметричные вершинам A, B и C относительно l. Для каждой вершины проведи перпендикуляр к оси и отложи равное расстояние по другую сторону.
2. Соедини A′, B′ и C′ в прежнем порядке. Полученный треугольник A′B′C′ является образом исходного.
3. Примени сохранение расстояний и углов: A′B′ = AB, B′C′ = BC, C′A′ = CA; углы A′, B′ и C′ равны соответствующим углам A, B и C. Равенство следует из того, что отражение сохраняет взаимные расстояния между точками.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′, равный ABC; соответствующие стороны и углы равны.

Найти ось симметрии фигуры и обосновать результат

Условие: требуется проверить, является ли выбранная прямая l осью симметрии фигуры. Простого прохождения прямой через центр или вершину недостаточно: после отражения должна совпасть вся фигура. Проверим соответствие точек по обе стороны прямой.

1. Выбери характерные точки фигуры, например вершины многоугольника, и найди для каждой точку, которая должна стать её образом. Точки на предполагаемой оси должны остаться на месте.
2. Проверь, что каждая пара точек находится на одном перпендикуляре к l по разные стороны от неё и на равных расстояниях. Если хотя бы для одной пары условие нарушено, отражение не может дать нужное совпадение.
3. Убедись, что все отражённые вершины и стороны принадлежат исходной фигуре. Только после этой проверки можно заключить, что фигура переходит сама в себя.

Ответ: прямая l является осью симметрии, если отражение относительно неё переводит всю фигуру в себя; иначе это не ось.

Типичные ошибки

Ошибка: проводят отрезок между точкой и её образом не перпендикулярно оси. Её допускают, когда ориентируются только на то, что точки должны быть по разные стороны прямой. Проверь себя: ось должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом.

Ошибка: откладывают от оси разные расстояния для точки и её образа. Тогда ось не делит соединяющий их отрезок пополам, и отражение получается неверным. Измерь расстояния именно по перпендикуляру к оси: они должны быть равны.

Ошибка: считают осью любую прямую, проходящую через центр фигуры. Такое предположение возникает из-за того, что центр часто связан с симметрией, но не каждая прямая через него подходит. Отрази фигуру и проверь, совпадают ли с исходными все её части, а не только отдельные точки.

Ошибка: путают осевую симметрию с поворотом или центральной симметрией. При отражении соответствующие точки лежат на перпендикуляре к одной прямой, а не просто перемещаются вокруг центра. Проверка по расположению пары «точка — образ» помогает отличить эти преобразования.

Связь с другими темами

Для построения осевой симметрии нужны знакомые понятия: перпендикулярность прямых, середина отрезка и расстояние от точки до прямой. Расстояние измеряют по перпендикуляру, поэтому умение строить его обязательно для правильного отражения. Построения циркулем и линейкой позволяют точно откладывать равные отрезки и находить середину.

Осевая симметрия применяется при изучении преобразований плоскости и равенства фигур: отражённая фигура сохраняет длины и углы. Она помогает исследовать симметрию многоугольников и выполнять геометрические чертежи. Умение находить оси полезно, когда нужно увидеть, какие части фигуры соответствуют друг другу.

Что запомнить

• Осевая симметрия задаётся прямой — осью.
• Ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку и её образ.
• Точки оси остаются на месте.
• Осевая симметрия сохраняет расстояния и углы.
• Образы отрезков и прямых являются отрезками и прямыми.
• Фигура симметрична относительно прямой, если отражение относительно неё переводит фигуру в себя.