§ 19. Движение. Параллельный перенос

Определения и обозначения

Движение плоскости — преобразование, при котором расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Каждая точка переходит ровно в одну точку плоскости, которую называют её образом. Это условие отличает движение от преобразования, которое может менять размеры фигур. Проверять сохранение нужно для любой пары точек, а не только для концов одного выбранного отрезка.

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка смещается на один и тот же вектор. У вектора есть длина и направление: длина показывает, насколько сдвигаются точки, а направление — куда именно. Благодаря этому одна команда задаёт перемещение всей фигуры, а не отдельных её частей.

Вектор переноса — вектор, который задаёт направление и величину смещения всех точек при параллельном переносе. Если вектор обозначен a, то для точки A её образ A′ получают так, чтобы AA′ = a. Обозначение подчёркивает, что отрезок AA′ направлен так же и имеет ту же длину, что и заданный вектор. Такой вектор позволяет однозначно построить образ каждой точки.

Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить движением. При таком совмещении соответствующие точки переходят друг в друга, а расстояния между ними не изменяются. Поэтому совпадают не только отдельные длины, но и размеры всей фигуры. Понятие равенства фигур связывает преобразования плоскости с привычным сравнением геометрических форм.

Как это устроено

Чтобы задать параллельный перенос, достаточно указать один вектор. Для любой точки A строят точку A′ так, чтобы вектор AA′ был равен вектору переноса: у них одинаковы длина и направление. Например, если вектор направлен вправо и вверх, то образ каждой точки нужно искать именно в этом направлении и на указанное расстояние. Поэтому нельзя менять смещение от точки к точке: тогда получился бы уже не один параллельный перенос.

При переносе расстояния между точками сохраняются, потому что к обеим точкам прибавляется одно и то же смещение. Если точки A и B переходят в A′ и B′, то отрезок A′B′ получается сдвигом отрезка AB целиком, без растяжения или сжатия. Его длина остаётся прежней, следовательно, сохраняется расстояние между любой выбранной парой точек. По определению это означает, что параллельный перенос является движением.

Пусть концы отрезка AB перешли в A′ и B′. Перенос не меняет расстояние между концами, поэтому A′B′ = AB. Кроме того, оба конца смещены на один вектор, и отрезок A′B′ получается сдвигом всего отрезка AB, а не поворотом или растяжением. Поэтому образ параллелен исходному отрезку; если смещение направлено вдоль него, образ лежит на той же прямой.

Прямая состоит из точек, и каждая из них при переносе смещается одним вектором. Если этот вектор не направлен вдоль прямой, все её точки переходят на параллельную прямую: взаимное расположение точек при сдвиге не меняется. Если же направление переноса совпадает с направлением прямой, точки перемещаются вдоль неё и её образ совпадает с исходной прямой. Значит, утверждение о параллельности допускает особый случай совпадения.

Углы и длины при параллельном переносе сохраняются, поскольку он сохраняет расстояния между точками. Угол можно определить через расстояния между точками на его сторонах, а значит, при переносе его величина не меняется. Поэтому фигура не меняет ни форму, ни размеры, хотя занимает другое место на плоскости. Образ любой фигуры равен исходной, а не просто похож на неё.

Свойства параллельного переноса

Таблица помогает быстро определить образ объекта и проверить, какие характеристики изменятся, а какие останутся прежними. При решении задачи сначала найди нужную строку, затем примени соответствующее свойство к конкретным точкам или фигуре. Для прямой обязательно проверь случай, когда перенос направлен вдоль неё.

Разбор задач

Задача 1. Точка A перенесена на вектор a. Построить образ точки A. Здесь нужно не искать особое положение точки, а повторить заданный вектор от начала A. Длина и направление переноса уже содержатся в векторе a, поэтому никаких дополнительных данных не требуется.

1. Отметь точку A и заданный вектор a, сохранив его направление и длину.
2. Проведи из A луч, направленный так же, как a.
3. Отложи на этом луче отрезок AA′, равный длине вектора a.
4. Обозначь его конец A′: это образ точки A.

Проверка: вектор AA′ должен совпадать с a по направлению и длине. Если построенный отрезок направлен противоположно или короче, точка-образ выбрана неверно. Ответ: A′ — точка, для которой AA′ = a.

Задача 2. Построить образ треугольника ABC при переносе на заданный вектор a. Перенос всей фигуры означает одинаковое смещение всех её точек. Достаточно построить образы вершин, потому что положение сторон однозначно определяется их концами. После этого важно сохранить порядок вершин при соединении.

1. Из каждой вершины A, B и C отложи вектор, равный a, и получи точки A′, B′ и C′.
2. Проверь для каждой пары соответствующих точек: AA′, BB′ и CC′ имеют одинаковые длину и направление.
3. Соедини A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′ в том же порядке, что и в исходном треугольнике.

Если перенести только одну вершину, а остальные оставить на месте, получится не образ треугольника при параллельном переносе. Все три вершины должны получить один и тот же вектор смещения. Ответ: искомый образ — треугольник A′B′C′.

Задача 3. Докажем, что параллельный перенос переводит отрезок AB в равный ему параллельный отрезок. Пусть A′ и B′ — образы концов отрезка при переносе на вектор a. Сначала проверим длину образа, затем его расположение относительно исходного отрезка. Такой порядок позволяет отделить свойство сохранения расстояний от общего смещения точек.

1. По свойству движения расстояние между образами сохраняется: A′B′ = AB.
2. Точки A и B смещены на один вектор, поэтому весь отрезок AB сдвигается без изменения направления.
3. Следовательно, A′B′ параллелен AB; если перенос направлен вдоль AB, эти отрезки лежат на одной прямой.

Равенство длин показывает, что образ отрезка равен исходному, а одинаковый сдвиг его концов объясняет параллельность. Ответ: отрезок AB переходит в равный ему параллельный отрезок.

Типичные ошибки

Разные векторы для разных точек. Иногда ученик переносит каждую вершину «примерно в ту же сторону», но на свою длину. Так меняются стороны фигуры, потому что параллельный перенос задаётся одним вектором для всех точек. Проверь, равны ли векторы смещения каждой точки: их длины и направления должны совпадать.

Путаница между вектором и прямой фигуры. Направление переноса задаёт сам вектор, а не линия, на которой лежит исходная фигура. Ошибка возникает, когда, например, отрезок смещают вдоль себя только потому, что он горизонтальный. Перед построением отдельно определи направление и длину заданного вектора, а затем используй их для каждой точки.

Образ прямой считают всегда отличным от неё. Обычно прямая переходит в параллельную, поэтому случай совпадения легко упустить. Если вектор переноса направлен вдоль прямой, точки остаются на этой же прямой, хотя и меняют положение на ней. Проверь, лежит ли направление вектора параллельно исходной прямой.

Движение определяют по длине одной фигуры. Совпадение одной пары отрезков само по себе ещё не доказывает, что преобразование является движением. По определению должны сохраняться расстояния между любой парой точек плоскости. Проверяй именно это условие, а не только длину выбранной стороны.

Связь с другими темами

Для изучения переноса нужно уметь работать с векторами: сравнивать их длины и направления, откладывать вектор от заданной точки. Также пригодится понятие параллельных прямых, чтобы описывать образ прямой или отрезка. Эти знания превращают геометрическое правило в понятный способ построения.

Понятие движения помогает разобраться, почему равные фигуры можно совместить без изменения размеров и формы. Позже оно пригодится при изучении других преобразований плоскости: их свойства удобно сравнивать с сохранением расстояний при движении. Так параллельный перенос становится примером общего способа изучать фигуры через их образы.

Что запомнить

• Параллельный перенос задаётся одним вектором.
• Все точки при переносе смещаются на один и тот же вектор.
• Параллельный перенос сохраняет расстояния.
• Параллельный перенос является движением.
• Образ отрезка равен исходному отрезку.
• Образ прямой параллелен исходной или совпадает с ней.