"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Отображение фигур — это правило, которое каждой точке исходной фигуры сопоставляет одну точку-образ. Так можно описывать, как фигура переходит в другую, и задавать соответствие между их точками. Образ фигуры составляют образы всех её точек, а не только вершин. Если правило действует на всей плоскости, оно задаёт преобразование плоскости; чтобы оно было взаимно однозначным, разным точкам должны соответствовать разные образы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отображение фигуры — соответствие, при котором каждой точке фигуры F поставлена в соответствие единственная точка фигуры F′. Это правило описывает переход от исходной фигуры к другой и позволяет проследить, куда перемещается каждая её точка. Единственность нужна, чтобы для одной исходной точки результат не зависел от выбора.
Точку, соответствующую точке X, называют её образом и обозначают X′. Запись X → X′ читают так: точка X переходит в точку X′. Такое обозначение помогает не путать исходную точку с полученной и устанавливает, какие точки связаны правилом.
Образ фигуры — множество образов всех точек этой фигуры; его обозначают F′. Например, чтобы получить образ отрезка, нужно рассматривать образы не только двух концов, но и каждой точки между ними. Это определение не позволяет ошибочно свести образ всей фигуры к нескольким отмеченным точкам.
Преобразование плоскости — отображение, при котором каждой точке плоскости соответствует точка той же плоскости. В отличие от отображения только отдельной фигуры, такое правило задано для всей плоскости. Поэтому с его помощью можно преобразовывать любые фигуры, расположенные на плоскости.
Чтобы задать отображение фигуры, нужно указать правило для её точек. Например, можно стрелками соединить точки исходной фигуры с соответствующими точками другой или описать переход словами. Отображение должно назначить каждой исходной точке результат: если для какой-то точки результата нет, соответствие не определено на всей фигуре, а если результатов несколько, нельзя понять, какой из них считать образом.
Фигура состоит из точек, поэтому её образ строят из образов всех этих точек. У отрезка есть бесконечно много точек, и образ отрезка по определению включает образ каждой из них. Если известно, что правило сохраняет отрезки, можно найти образы концов и провести отрезок между ними; без такого свойства одного знания о концах недостаточно, чтобы установить весь образ.
При преобразовании плоскости каждой точке исходной фигуры ставится в соответствие точка после преобразования. Собрав все полученные точки, получают новую фигуру — образ исходной. Пары вроде X и X′ рассматривают как соответствующие точки, поэтому можно изучать, что происходит с фигурами и их свойствами при данном правиле.
Отображение называют взаимно однозначным, если каждой точке исходной фигуры соответствует ровно одна точка образа и каждой точке образа — ровно одна исходная точка. Второе условие исключает ситуацию, когда два разных пункта отправляются в одно место; также оно означает, что ни одна точка образа не остаётся без исходной. Тогда соответствие можно пройти в обе стороны, а у каждой точки образа есть единственный прообраз.
Правило можно задать словами, рисунком или координатной формулой. Например, фраза «сдвинуть каждую точку на 2 единицы вправо» задаёт тот же тип соответствия, что формула (x; y) → (x + 2; y); на рисунке правило показывают стрелками. Какой бы способ ни использовался, нужно проверить, что он однозначно задаёт образ каждой точки, а для взаимной однозначности — ещё и единственный прообраз.
| Понятие | Что сопоставляется | Как обозначается результат | Что важно проверить |
|---|---|---|---|
| Отображение фигуры | Каждой точке фигуры — точка-образ | Правило или запись соответствия | У каждой исходной точки ровно один образ |
| Образ точки | Исходная точка и соответствующая ей точка | X → X′ | Какая точка исходная, а какая полученная |
| Образ фигуры | Все точки фигуры и все их образы | F′ | Учтены образы всех точек, не только вершин |
| Преобразование плоскости | Каждой точке плоскости — точка той же плоскости | Правило преобразования | Правило действует на всей плоскости; для взаимной однозначности у образа единственный прообраз |
Сначала определите, на каких точках действует правило, затем выясните, что именно обозначает результат. Для проверки взаимной однозначности дополнительно посмотрите, могут ли разные исходные точки получить один образ или может ли точка образа остаться без прообраза.
Задача 1. На рисунке каждой вершине треугольника ABC поставлена в соответствие отмеченная точка. Укажите образы вершин и образ треугольника. Без самого рисунка конкретные названия отмеченных точек определить нельзя, поэтому обозначим соответствующие точки A′, B′ и C′. Нужно прочитать три заданные пары, а затем назвать фигуру, составленную из образов всех точек треугольника.
Ответ: образы вершин — A′, B′, C′; образ треугольника обозначается A′B′C′, если по заданному соответствию его стороны переходят в стороны этой фигуры.
Задача 2. Отображение задано правилом (x; y) → (x + 2; y). Найдите образы точек A(−1; 3), B(2; 0) и запишите образ отрезка AB. Формула меняет только первую координату: к x прибавляется 2, а y остаётся прежней. После вычисления образов концов можно заключить, во что переходит весь отрезок, поскольку это правило является сдвигом.
Ответ: A′(1; 3), B′(4; 0); образ отрезка AB — отрезок A′B′.
Задача 3. Точки плоскости отображаются по правилу (x; y) → (x; 0). Найдите образы вершин треугольника и выясните, является ли это преобразованием плоскости. Пусть вершины имеют координаты A(a; b), B(c; d), C(e; f). Правило сохраняет первую координату и заменяет вторую нулём, поэтому образ каждой вершины лежит на оси Ox.
Ответ: A′(a; 0), B′(c; 0), C′(e; 0); треугольник отображается на часть оси Ox. Правило отображает плоскость в себя, но не задаёт взаимно однозначного соответствия.
Образ фигуры иногда называют только по образам её вершин. Так делают потому, что вершины легко заметить на чертеже, но между ними тоже есть точки, и их образы входят в образ фигуры. Проверьте себя вопросом: описаны ли образы всех точек или только нескольких отмеченных?
Другой промах — записать соответствие в обратную сторону и принять исходную точку за образ. Причина обычно в том, что названия X и X′ похожи, а направление перехода не указано. Записывайте стрелку от исходной точки к полученной: X → X′, а затем сверяйте, какая точка стояла в условии.
Не всякое отображение фигуры является преобразованием плоскости. Можно ошибочно сделать такой вывод, не проверив, задано ли правило для всех точек плоскости и попадают ли результаты в ту же плоскость. Для проверки подставьте произвольную точку с координатами и выясните, определено ли для неё правило и является ли результат точкой плоскости.
Наконец, единственный образ у каждой точки не означает взаимную однозначность. Это условие ограничивает число результатов для одной точки, но не запрещает разным точкам иметь общий образ. Чтобы проверить себя, найдите, могут ли две исходные точки перейти в одну; если да, соответствие не взаимно однозначно.
Для изучения отображений нужно понимать, что фигура — это множество точек, и уметь читать координаты точки на плоскости. Эти знания позволяют применять координатное правило к отдельным точкам и затем составлять из полученных образов фигуру. Если координаты ещё путаются, полезно сначала повторить, как на координатной плоскости задают положение точки.
Понятие отображения служит основой для изучения конкретных преобразований плоскости. Для каждого преобразования можно выяснить, как оно меняет фигуру и какие свойства сохраняет, например форму или размеры. Поэтому понимание соответствия между точками помогает не просто строить образ, но и исследовать свойства исходной и полученной фигур.
Чем отображение фигуры отличается от преобразования плоскости?
Отображение фигуры задаёт соответствие между точками двух фигур и определено для точек исходной фигуры. Преобразование плоскости действует на всех точках плоскости и переводит их в точки этой же плоскости. Для взаимно однозначного преобразования каждой полученной точке соответствует ровно одна исходная.
Как обозначить образ точки и образ фигуры?
Если точка X переходит в точку X′, соответствие записывают X → X′; X′ называют образом точки X. Образ фигуры F обычно обозначают F′. Он состоит из образов всех точек F.
Как найти образ отрезка, если известно правило отображения точек?
Нужно применить правило к каждой точке отрезка. Образ отрезка включает образы всех его точек, а не только концов. Если правило переводит отрезки в отрезки, достаточно найти образы концов и соединить их; это свойство следует проверить для данного правила.
Может ли у разных точек быть один и тот же образ?
Да, при обычном отображении это возможно: условие требует единственного образа для каждой исходной точки, но не запрещает совпадение образов. Например, правило (x; y) → (x; 0) переводит точки (2; 1) и (2; 5) в одну точку (2; 0).
Почему не всякое отображение является взаимно однозначным?
Единственность образа означает, что у каждой исходной точки есть ровно один результат. Но разные исходные точки могут получить один и тот же результат, а некоторые точки образа могут не иметь прообраза. Для взаимной однозначности каждому образу должна соответствовать ровно одна исходная точка.
§ 18. Преобразование (отображение) фигур
