§ 17. Скалярное произведение векторов

Определения и обозначения

Угол между ненулевыми векторами — это угол между лучами, на которых лежат векторы, если отложить их от одного начала. Его величина может быть от 0° до 180° включительно. Такое определение учитывает направления векторов: угол не всегда совпадает с меньшим углом между содержащими их прямыми.

Скалярным произведением векторов a и b называют число a · b = |a| |b| cos α, где |a| и |b| — длины векторов, а α — угол между ними. Точка обозначает операцию умножения, а результатом служит число. Определение позволяет связать геометрические характеристики векторов — их длины и направления.

Если a = (x₁; y₁), а b = (x₂; y₂), то скалярное произведение вычисляют по формуле a · b = x₁x₂ + y₁y₂. Нужно перемножить координаты, стоящие на одинаковых местах, и сложить произведения. Эта запись удобна, когда векторы заданы числами, а угол между ними неизвестен.

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. У нулевого вектора направления нет, поэтому перпендикулярным его не называют. Условие с нулём применяют именно к двум ненулевым векторам.

Как это устроено

В определении участвуют длины, потому что больший вектор при том же направлении должен давать больший вклад в результат. Косинус угла учитывает, насколько направления векторов совпадают: при малом угле он близок к 1, а при угле около 180° — к −1. Поэтому скалярное произведение измеряет не только размеры векторов, но и их взаимное направление.

Знак произведения определяется знаком cos α. При остром угле косинус положителен, поэтому произведение положительно; при прямом угле косинус равен нулю, и произведение тоже равно нулю. При тупом угле косинус отрицателен, поэтому произведение отрицательно. Так по одному числу можно определить, острый, прямой или тупой угол образуют ненулевые векторы.

Переместительность следует из того, что при перестановке векторов не меняются ни длины, ни угол: a · b = b · a. Распределительность возникает потому, что сложение векторов складывает их составляющие в направлениях, и вклад каждого слагаемого учитывается отдельно: a · (b + c) = a · b + a · c. Числовой множитель можно вынести: (λa) · b = λ(a · b). Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, не возвращаясь каждый раз к определению.

Координатную формулу можно получить, разложив векторы по двум взаимно перпендикулярным осям. Составляющие вдоль одной оси перемножаются, а произведения составляющих по разным осям равны нулю, поскольку оси перпендикулярны. Поэтому для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) остаётся сумма x₁x₂ + y₁y₂. При вычислении важно соединять координаты одной и той же оси.

Если координаты известны, нулевое значение суммы x₁x₂ + y₁y₂ позволяет проверить перпендикулярность без построения чертежа. Чтобы найти угол, сначала вычисляют скалярное произведение и длины по координатам, затем находят cos α = (a · b) / (|a| |b|). После этого определяют угол, косинус которого получился. Деление допустимо, если оба вектора ненулевые.

Скалярное произведение: определение, свойства и применение

Сначала выберите строку по тому, что известно в задаче: длины и угол или координаты. Если нужно проверить прямой угол, вычислите произведение и проверьте, равно ли оно нулю. Свойства пригодятся, когда выражение содержит сумму векторов или числовые множители.

Разбор задач

Задача 1. Длины двух векторов равны 4 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите их скалярное произведение. Здесь известны все части определения, поэтому достаточно подставить данные и вычислить косинус угла.

1. Запишем формулу: a · b = |a| |b| cos α.
2. Подставим длины и угол: a · b = 4 · 5 · cos 60°.
3. Так как cos 60° = ½, получаем a · b = 20 · ½ = 10.

Ответ: 10. Произведение положительное, что согласуется с острым углом между векторами.

Задача 2. Даны векторы a = (2; −1) и b = (3; 4). Найдите их скалярное произведение. Угол искать не требуется: координатная формула сразу превращает задачу в вычисление суммы двух произведений.

1. Запишем формулу для координат: a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
2. Подставим соответствующие координаты: a · b = 2 · 3 + (−1) · 4.
3. Вычислим: 6 − 4 = 2.

Ответ: 2. Положительный результат означает, что угол между ненулевыми векторами острый.

Задача 3. Найдите m, при котором a = (m; 2) и b = (3; −6) перпендикулярны. Поскольку векторы заданы координатами, сначала составим их скалярное произведение. Затем приравняем его к нулю — это условие перпендикулярности ненулевых векторов.

1. Вычислим произведение: a · b = m · 3 + 2 · (−6) = 3m − 12.
2. Приравняем результат к нулю: 3m − 12 = 0.
3. Решим уравнение: 3m = 12, откуда m = 4.

Ответ: m = 4. При этом оба вектора ненулевые, а их скалярное произведение равно нулю.

Типичные ошибки

Путают угол между векторами с углом между прямыми и всегда берут острый угол. Так происходит, если не учитывать направления векторов: угол между ними может быть тупым. Для проверки представьте, что векторы отложены от общего начала, и выберите угол от 0° до 180°.

Иногда перемножают только длины и забывают cos α. Тогда результат не зависит от направления векторов, хотя при изменении угла скалярное произведение меняется. Перед вычислением проверьте, что записали полную формулу, а не только произведение длин.

В координатной формуле могут перемножить координаты не по соответствующим осям или вычесть одно произведение из другого. Ошибка обычно возникает при спешке или из-за неверного обращения с отрицательными числами. Подпишите пары координат по осям и проверьте, что складываете оба произведения.

Нулевое скалярное произведение иногда принимают за доказательство перпендикулярности любых векторов, в том числе с нулевым вектором. Но у нулевого вектора нет направления, поэтому перпендикулярным его не называют. Проверьте, что оба вектора ненулевые, прежде чем применять критерий.

Связь с другими темами

Для работы со скалярным произведением нужны координаты и длина вектора, правила действий с векторами и формула косинуса угла. Эти знания помогают перейти от геометрического описания к вычислениям. После этого скалярное произведение позволяет проверять перпендикулярность и находить углы между векторами. Так координатный метод помогает решать геометрические задачи о длинах и углах.

Что запомнить

• Скалярное произведение двух векторов — число.
• По определению a · b = |a| |b| cos α.
• Скалярное произведение переместительно: a · b = b · a.
• В координатах a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂): a · b = x₁x₂ + y₁y₂.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Знак скалярного произведения зависит от того, острый, прямой или тупой угол образуют векторы.