§ 16. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению

Определения и обозначения

Умножение вектора на число — операция, при которой длина вектора 𝐚 изменяется в |k| раз, а при k < 0 его направление становится противоположным. Полученный вектор обозначают k𝐚. Это позволяет одним коротким выражением описать увеличение, уменьшение или разворот вектора.

Коэффициент умножения — число k, которое задаёт, как вектор k𝐚 связан с 𝐚 по длине и направлению. Если |k| больше 1, длина увеличивается, если 0 < |k| < 1 — уменьшается. Знак k показывает, совпадают ли направления или противоположны, поэтому по коэффициенту можно сравнивать векторы.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если один из них ненулевой, другой коллинеарный ему можно записать как произведение первого на число: 𝐛 = k𝐚. Такая запись нужна, чтобы заменить геометрическое условие о параллельности направлений алгебраическим равенством.

Разложение вектора — представление его в виде суммы других векторов, умноженных на числа, например 𝐜 = α𝐚 + β𝐛. Здесь α и β показывают, сколько раз и в каком направлении используются векторы 𝐚 и 𝐛. Разложение помогает выразить стороны и диагонали фигуры через выбранные направления и решать задачи с помощью вычислений.

Как это устроено

При умножении на k длина каждого отрезка, представляющего вектор, меняется в одинаковое число раз, поэтому длина результата равна |k|·|𝐚|. Модуль берётся потому, что длина — неотрицательная величина даже при отрицательном коэффициенте. Знак числа влияет не на размер, а на то, в какую сторону направлен вектор.

Если k положительно, вектор k𝐚 направлен так же, как 𝐚; если k отрицательно — в противоположную сторону. При k = 0 длина результата равна нулю, значит, получается нулевой вектор, а при k = −1 длина остаётся прежней, но направление меняется. При k = 1 не меняются ни длина, ни направление, поэтому 1𝐚 = 𝐚.

Распределительное свойство k(𝐚 + 𝐛) = k𝐚 + k𝐛 работает потому, что сначала можно сложить перемещения 𝐚 и 𝐛, а затем увеличить каждое в k раз, или сразу увеличить каждое перемещение и сложить результаты. По той же причине (k + m)𝐚 = k𝐚 + m𝐚: две части одного направления складываются по коэффициентам. Последовательное умножение даёт k(m𝐚) = (km)𝐚, поскольку длина изменяется сначала в |m|, затем в |k| раз, а направление определяется знаками обоих чисел.

Коллинеарность удобно проверять через коэффициент: если 𝐛 = k𝐚, то векторы лежат на параллельных прямых или на одной прямой, потому что отличаются только длиной и, возможно, направлением. Поэтому, найдя такое равенство для направляющих векторов двух прямых, можно доказать их параллельность или совпадение. Для вывода, что прямые именно параллельны, а не совпадают, дополнительно проверяют, что это разные прямые.

Векторный метод помогает перевести геометрическую задачу на язык равенств. Сначала выбирают векторы, связанные с условием, затем выражают через них нужные отрезки, используя правило треугольника и умножение на число. Если после преобразований получаются равные векторы или один вектор оказывается числовым множителем другого, это даёт нужное геометрическое свойство; коэффициенты также помогают найти отношения отрезков.

Умножение вектора на число: определение и свойства

Сначала определите, нужно ли найти длину, направление или преобразовать сумму: соответствующее правило находится в первом столбце. Затем подставьте коэффициенты и проверьте знак, особенно если он отрицательный. При преобразовании равенств можно применять свойства в обе стороны, сохраняя порядок действий.

Разбор задач

Дан вектор 𝐚 длины 4. Постройте векторы 2𝐚, −𝐚 и 0𝐚 и укажите их длины и направления.

Нужно отдельно определить размер и направление каждого результата. Для длины используем |k𝐚| = |k|·|𝐚|, а для направления — знак коэффициента. Построение выполняем на прямой, параллельной вектору 𝐚, поскольку все полученные векторы коллинеарны с ним.

1. Для 2𝐚 длина равна |2|·4 = 8; коэффициент положительный, поэтому вектор направлен так же, как 𝐚.
2. Для −𝐚 длина равна |−1|·4 = 4; отрицательный коэффициент меняет направление на противоположное.
3. Для 0𝐚 длина равна 0·4 = 0, поэтому это нулевой вектор, направление которого не задают.

Ответ: 2𝐚 имеет длину 8 и сонаправлен с 𝐚; −𝐚 имеет длину 4 и противоположно направлен 𝐚; 0𝐚 — нулевой вектор длины 0.

В треугольнике ABC точка M — середина BC. Выразите вектор AM через векторы AB и AC.

Середина делит BC пополам, поэтому 𝐁𝐌 = ½𝐁𝐂. Чтобы получить 𝐀𝐌, удобно пройти от A к B, а затем от B к M. Вектор 𝐁𝐂 выражается через векторы с началом в A по правилу треугольника.

1. По правилу сложения 𝐀𝐌 = 𝐀𝐁 + 𝐁𝐌.
2. Так как M — середина BC, 𝐁𝐌 = ½𝐁𝐂.
3. По правилу треугольника 𝐁𝐂 = 𝐁𝐀 + 𝐀𝐂 = −𝐀𝐁 + 𝐀𝐂. Подставляем: 𝐀𝐌 = 𝐀𝐁 + ½(−𝐀𝐁 + 𝐀𝐂) = ½𝐀𝐁 + ½𝐀𝐂.

Ответ: 𝐀𝐌 = ½(𝐀𝐁 + 𝐀𝐂). Средняя точка даёт коэффициент ½, а выражение показывает, что вектор медианы можно получить из двух векторов, выходящих из вершины A.

В четырёхугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AB и CD. Проверьте, следует ли, что MN параллельна диагоналям AC и BD.

Проверим утверждение через выражение для 𝐌𝐍. Возьмём путь от M к A, затем от A к C и от C к N; поскольку M и N — середины, части на сторонах выражаются с коэффициентом ½. Сравнение с диагоналями покажет, есть ли обязательная пропорциональность.

1. 𝐌𝐍 = 𝐌𝐀 + 𝐀𝐂 + 𝐂𝐍, где 𝐌𝐀 = ½𝐁𝐀, а 𝐂𝐍 = ½𝐂𝐃.
2. Так как 𝐁𝐀 = 𝐁𝐃 + 𝐃𝐂 − 𝐂𝐀, после подстановки и сокращения получаем 𝐌𝐍 = ½(𝐀𝐂 + 𝐁𝐃).
3. Сумма диагоналей не обязана быть коллинеарна ни 𝐀𝐂, ни 𝐁𝐃. Значит, из условий задачи параллельность MN каждой диагонали не следует; её можно заключить только при дополнительном условии о направлении этой суммы.

Ответ: 𝐌𝐍 = ½(𝐀𝐂 + 𝐁𝐃), но MN в общем случае не параллельна диагоналям. Равенство векторов позволяет проверить параллельность, однако само по себе не доказывает её без пропорциональности направляющему вектору нужной прямой.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что при отрицательном коэффициенте меняется только длина. Так рассуждают, когда замечают множитель |k|, но забывают о знаке, который отвечает за направление. Проверьте результат на k = −1: длина остаётся прежней, а вектор должен быть противоположен исходному.

Нельзя записывать длину k𝐚 как k|𝐚| при k < 0: это дало бы отрицательную длину. Ошибка возникает из-за переноса коэффициента без модуля из записи самого вектора в формулу для его длины. Для проверки подставьте отрицательное k и убедитесь, что длина выражена неотрицательным числом |k|·|𝐚|.

Умножение вектора на число часто путают с умножением двух векторов. Здесь число — коэффициент, а результатом остаётся вектор; правило не задаёт произведение двух векторов и не превращает результат в число. Проверьте обозначения: слева стоит один вектор и число, а длина результата вычисляется отдельно.

Из параллельности прямых не следует равенство их направляющих векторов. Векторы на этих прямых могут иметь разные длины и противоположные направления, поэтому их связывает равенство вида 𝐛 = k𝐚, а не обязательно 𝐛 = 𝐚. Чтобы проверить рассуждение, сравните сначала направления и длины, а затем найдите возможный коэффициент k.

Связь с другими темами

Для работы нужны сложение и вычитание векторов, противоположный и нулевой векторы, длина вектора и правило треугольника. Умножение на число использует представление о коллинеарных векторах и свойства равенства векторов: именно они позволяют перейти от геометрической фигуры к равенству. Позже векторный метод пригодится для доказательства параллельности и коллинеарности, нахождения отношений отрезков и решения задач на координаты.

Что запомнить

• Длина вектора k𝐚 равна |k|·|𝐚|.
• При k > 0 векторы k𝐚 и 𝐚 сонаправлены.
• При k < 0 векторы k𝐚 и 𝐚 противоположно направлены.
• 0𝐚 — нулевой вектор, а 1𝐚 = 𝐚.
• k(𝐚 + 𝐛) = k𝐚 + k𝐛.
• (k + m)𝐚 = k𝐚 + m𝐚.
• Коллинеарность векторов можно выразить равенством 𝐛 = k𝐚.