§ 15. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Сумма двух векторов — вектор, который получают, последовательно откладывая слагаемые так, чтобы начало второго совпало с концом первого. Для векторов a и b это означает: сначала откладывают a, затем от его конца — b, а суммой a + b называют вектор от начала a до конца b. Такое определение превращает действие с векторами в наглядное построение.

Правило треугольника — способ построения суммы двух векторов, при котором начало второго совмещают с концом первого. Название связано с тем, что два отрезка-вектора и соединяющий их результат образуют стороны треугольника. Это правило удобно, когда векторы уже образуют последовательную цепочку или их начала находятся в разных точках.

Противоположные векторы — векторы одинаковой длины, лежащие на одной или параллельных прямых и направленные в противоположные стороны. Вектор, противоположный a, обозначают −a; значит, у a и −a равные длины, но обратные направления. Такая пара нужна для определения вычитания и даёт нулевой вектор при сложении.

Разность векторов — вектор, который при сложении с вычитаемым даёт уменьшаемый: если a − b = c, то c + b = a. Для построения используют равенство a − b = a + (−b), то есть к уменьшаемому прибавляют вектор, противоположный вычитаемому. Эта запись позволяет выполнять вычитание тем же геометрическим способом, что и сложение.

Как это устроено

Вектор можно перенести параллельно самому себе, потому что для него важны длина и направление, а положение на плоскости не является частью его обозначения. После переноса его начальная и конечная точки изменятся, но длина и направление останутся прежними. Поэтому второй вектор можно приложить к концу первого, не меняя самого слагаемого. Это и позволяет складывать векторы, даже если изначально они расположены в разных местах.

Если начало второго вектора b совместить с концом первого a, получается последовательный путь из двух векторов. Чтобы описать весь этот путь одним вектором, проводят его от начала a к концу перенесённого b. Направление суммы определяется начальной и конечной точками пути, а не тем, куда направлен каждый отрезок по отдельности. Так возникает правило треугольника: вектор суммы — третья сторона, замыкающая построенную цепочку.

Если начала слагаемых совмещены, то их можно принять за две стороны параллелограмма. Через концы этих векторов проводят прямые, параллельные другим сторонам, и достраивают фигуру. Диагональ от общего начала к противоположной вершине совпадает с результатом последовательного откладывания векторов: один шаг можно представить вдоль одной стороны, второй — вдоль другой. Поэтому правило параллелограмма даёт ту же сумму, что и правило треугольника.

Перестановка слагаемых не меняет сумму, потому что в обоих случаях итоговый вектор соединяет одни и те же начало и конец параллелограмма. Иначе говоря, a + b = b + a: векторная сумма обладает переместительным свойством. Несколько векторов складывают цепочкой, последовательно прикладывая начало каждого следующего к концу предыдущего. Результат направлен от начала первого вектора к концу последнего, поэтому группировать шаги можно по-разному.

Разность строят как сумму уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Сначала меняют направление именно b, потому что оно стоит после знака вычитания, а длину сохраняют. Если начала a и b совмещены, можно приложить −b к концу a; результат идёт от общего начала к концу −b. Также разность можно увидеть как вектор от конца b к концу a: прибавление b к этому вектору приводит из начала b в конец a.

Геометрические действия над векторами

Сначала выбери строку по тому, как расположены векторы: для общей начальной точки удобно правило параллелограмма, а для цепочки — треугольника. При вычитании сначала замени вычитаемый противоположным вектором, затем действуй по правилу сложения. В последнем столбце указано, откуда и куда направить итоговый вектор.

Разбор задач

Сумма по правилу треугольника

Даны два вектора, не лежащие на одной прямой; требуется построить их сумму по правилу треугольника. Обозначим их a и b. Поскольку их положения произвольны, один вектор потребуется перенести, сохранив его длину и направление.

1. Выбери первый вектор a и оставь его без изменения. Отметь его начало и конец, чтобы было понятно, откуда пойдёт итоговый вектор.
2. Перенеси b параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом a. Следи, чтобы b не повернулся и не изменил длину.
3. Проведи вектор от начала a к концу перенесённого b. Он проходит от начала всего пути к его конечной точке, поэтому и является суммой.

Ответ: вектор a + b направлен от начала a к концу перенесённого вектора b.

Одна начальная точка: два способа

Из одной точки выходят векторы a и b. Нужно построить их сумму правилом параллелограмма и сравнить результат с построением по правилу треугольника. Общая точка уже задаёт начало искомого вектора, поэтому переносить оба слагаемых для параллелограмма не требуется.

1. Обозначь общую начальную точку O, а концы векторов — A и B. От концов проведи прямые, параллельные вторым сторонам, и дострой параллелограмм OACB.
2. Проведи диагональ из O к противоположной вершине C. Она и есть сумма: стороны параллелограмма показывают оба слагаемых, а диагональ — общий результат их последовательного действия.
3. Теперь приложи b к концу a по правилу треугольника. Его конец окажется в C, потому что перенос b параллельно самому себе приводит к противоположной вершине параллелограмма.

Ответ: оба способа дают один и тот же вектор OC = a + b.

Разность и упрощение выражения

Пусть начала векторов a и b совмещены, а требуется построить a − b и упростить a − b + b. Важно не менять направление a: вычитают именно b, поэтому сначала строят вектор, противоположный ему. После построения можно упростить выражение, используя связь противоположных векторов.

1. Обозначь общее начало O, концы a и b — A и B. Разность a − b можно провести от B к A: при сложении этого вектора с b получится путь из O в A, то есть a.
2. Для записи через сложение возьми вектор −b, равный b по длине и направленный обратно. Построй a + (−b) по правилу треугольника или параллелограмма — получится тот же вектор от B к A.
3. В выражении a − b + b замени разность суммой: a + (−b) + b. Векторы −b и b взаимно противоположны, поэтому их сумма равна нулевому вектору и не меняет a.

Ответ: a − b направлен от конца b к концу a; a − b + b = a.

Типичные ошибки

При построении суммы иногда соединяют начала векторов. Это происходит, если забыть, что правило треугольника требует последовательного пути: начало второго вектора должно оказаться у конца первого. Проверь себя: у перенесённого вектора должна быть одна общая точка с концом первого, а результат идёт от начала цепочки к её концу.

Перенося вектор, можно случайно изменить его направление или длину, словно его нужно повернуть к концу первого. Но перенос — это сдвиг, а не поворот и не растяжение. Проверь себя по стрелке и длине: до и после перемещения вектор должен быть одинаково направлен и одинаковой длины.

Ещё одна ошибка — строить a − b, просто разворачивая a. Тогда изменяется уменьшаемый, хотя знак вычитания относится к b. Чтобы проверить построение, убедись, что к результату можно прибавить b и получить a; если это не так, разность найдена неверно.

При правиле параллелограмма иногда проводят диагональ из другой вершины. Путаница появляется потому, что в фигуре две диагонали и обе выглядят подходящими для результата. Сумма должна начинаться там, где совмещены начала слагаемых; сравни начало диагонали с общей точкой, прежде чем записывать ответ.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно знать, что каждый из них задаётся длиной и направлением, а его можно переносить параллельно самому себе без изменения этих свойств. Построение разности опирается на понятие противоположных векторов, а правило параллелограмма — на умение строить эту фигуру. Поэтому понимание равных и противоположных векторов помогает не только выполнить построение, но и проверить его. Позже сложение и вычитание векторов пригодятся при изучении координат вектора и решении геометрических задач.

Что запомнить

• Сумму векторов строят по правилу треугольника.
• При переносе вектор сохраняет длину и направление.
• Правило параллелограмма даёт ту же сумму, что и правило треугольника.
• От перестановки слагаемых сумма не меняется.
• Разность a − b равна сумме a + (−b).
• Сумма вектора и противоположного ему вектора — нулевой вектор.