"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Координаты вектора — это числа, которые показывают его перемещение вдоль горизонтальной и вертикальной осей. Они позволяют описывать векторы без рисунка: находить их по координатам начала и конца, складывать, вычитать и умножать на число. По координатам можно сравнивать векторы и вычислять их длину. Это делает координатный метод удобным инструментом для решения геометрических задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Координаты вектора — числа, показывающие, на сколько единичных отрезков он направлен вдоль каждой координатной оси. В записи a = (x; y) число x отвечает за перемещение по горизонтали, а y — по вертикали; отрицательное значение означает направление против положительного направления оси. Координаты нужны, чтобы описывать вектор числами и выполнять вычисления без построения его на чертеже.
Координатные векторы — единичные векторы, направленные вдоль осей координат. Обычно их обозначают i = (1; 0) и j = (0; 1): первый задаёт шаг вправо, второй — шаг вверх. С их помощью любой вектор записывают как a = x i + y j, поэтому координаты показывают, сколько раз нужно взять каждый из двух основных направлений.
Равные векторы — векторы с одинаковыми координатами. Это возможно, даже если они начинаются в разных точках: перенос параллельно самому себе не меняет ни длину, ни направление вектора, а значит, не меняет его составляющие вдоль осей. Поэтому при сравнении векторов достаточно сравнить их координаты.
Если начало вектора AB имеет координаты A(x₁; y₁), а конец — B(x₂; y₂), то координаты вектора равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Это разности соответствующих координат конца и начала. Правило позволяет восстановить перемещение между точками, не смешивая положение точки и направление вектора.
Два координатных вектора задают направления вдоль двух осей, а единичная длина каждого задаёт масштаб измерения. Чтобы представить произвольный вектор, мысленно перемещают его начало в начало координат и опускают проекции на оси. Получившиеся отрезки показывают горизонтальную и вертикальную составляющие: вместе они образуют прямоугольный треугольник, а исходный вектор является его диагональю.
Коэффициенты при координатных векторах и называют координатами, потому что каждый коэффициент сообщает, сколько единичных шагов сделано в соответствующем направлении. По рисунку считают проекции на оси, учитывая знак: вправо и вверх обычно считают положительными направлениями, влево и вниз — отрицательными. Например, перемещение на 3 единицы влево и на 2 вверх имеет координаты (−3; 2), а не (3; 2).
Правило для вектора между точками следует из смысла перемещения. Если идти от A к B, изменение горизонтальной координаты составляет x₂ − x₁, а вертикальной — y₂ − y₁. Например, переход от координаты −2 к 4 даёт 4 − (−2) = 6; обратный переход дал бы −6, то есть вектор противоположного направления.
Складывать векторы можно как последовательные перемещения: сначала выполнить одно, затем другое. По горизонтали общий сдвиг будет суммой горизонтальных составляющих, по вертикали — суммой вертикальных. Вычитание означает прибавление противоположного вектора, поэтому координаты второго вектора вычитают по соответствующим местам; умножение на число растягивает, сжимает или меняет направление вектора, умножая обе его составляющие на это число.
Длина вектора связана с его координатами через прямоугольный треугольник. Горизонтальная и вертикальная составляющие — катеты, а длина вектора — гипотенуза, поэтому по теореме Пифагора |a|² = x² + y² и |a| = √(x² + y²). Квадраты делают вклад обеих составляющих неотрицательным, а корень возвращает длину в исходных единицах.
| Что рассматриваем | Правило для векторов a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂) | Что означает |
|---|---|---|
| Координаты вектора AB при A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) | Конец минус начало по каждой координате |
| Равенство векторов | a = b, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂ | Совпадают обе составляющие |
| Сумма векторов | a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂) | Складывают соответствующие координаты |
| Разность векторов | a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂) | Вычитают соответствующие координаты |
| Умножение вектора на число | ka = (kx₁; ky₁) | Каждую координату умножают на k |
| Длина вектора | |a| = √(x₁² + y₁²) | Теорема Пифагора для составляющих |
Сначала определите, какое действие требуется, затем примените правило отдельно к первым и вторым координатам. Для вектора между точками следите за порядком: координаты конечной точки идут первыми в разностях. Длину вычисляйте только после возведения координат в квадрат и сложения результатов.
Задача 1. Даны точки A(−2; 3) и B(4; 1). Найдите координаты вектора AB. Нужно определить перемещение именно от A к B, поэтому из координат каждой точки B вычтем координаты точки A. Выполним вычитание отдельно по горизонтали и вертикали.
Запишем правило: AB = (xB − xA; yB − yA). Порядок важен, потому что вектор направлен от A к B. Если поменять точки местами, получится противоположный вектор.
Подставим координаты: AB = (4 − (−2); 1 − 3). Первая координата равна 6, вторая — −2. Знак минус показывает, что вертикальная составляющая направлена вниз.
Ответ: AB = (6; −2).
Задача 2. Даны векторы a = (2; −3) и b = (−1; 4). Найдите 2a − b. Сначала выполним умножение a на 2, а затем вычтем соответствующие координаты b. Такой порядок помогает не потерять знак минус перед вторым вектором.
Умножим каждую координату a на 2: 2a = (4; −6). Обе составляющие меняются в одинаковое число раз. Направление остаётся тем же, так как множитель положителен.
Вычтем b: 2a − b = (4 − (−1); −6 − 4). Получаем первую координату 5, вторую −10. Минус перед числом −1 превращается при вычитании в плюс.
Ответ: 2a − b = (5; −10).
Задача 3. Даны точки A(1; −2) и B(x; 4). Найдите x, если длина вектора AB равна 5. Сначала выразим составляющие через координаты точек, затем подставим их в формулу длины. Получится уравнение, из которого найдём возможные значения x.
Найдём координаты: AB = (x − 1; 4 − (−2)) = (x − 1; 6). Вертикальная составляющая уже равна 6. По формуле длины должно выполняться √((x − 1)² + 6²) = 5.
Возведём обе части в квадрат: (x − 1)² + 36 = 25. Тогда (x − 1)² = −11. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительного значения x не существует.
Ответ: такого действительного x нет. Условие задачи несовместимо с геометрическим смыслом: вертикальное перемещение длиной 6 уже больше всей длины вектора, равной 5.
Ошибка: при вычислении AB вычитать координаты B из координат A. Так меняют направление: получают BA, потому что порядок точек задаёт направление вектора. Путаница возникает, если запомнить лишь слово «вычесть», не уточняя порядок. Проверка: подставьте точки в правило «конец минус начало» и убедитесь, что для AB первой стоит B.
Ошибка: считать координатами вектора координаты его конца. Координаты точки B задают положение B, но перемещение AB зависит ещё и от положения A. Так делают, когда незаметно предполагают, что начало вектора совпадает с началом координат. Проверка: вычислите разности координат конца и начала; если A = (0; 0), только тогда координаты AB совпадут с координатами B.
Ошибка: при сложении складывать горизонтальную координату одного вектора с вертикальной координатой другого. Причина обычно в том, что числа записаны рядом и их сопоставляют по порядку записи невнимательно. Проверка: первые координаты всегда отвечают за одну и ту же ось, вторые — за другую; сложите их отдельно.
Ошибка: находить длину как сумму модулей координат, например |x| + |y|. Это длина пути вдоль двух перпендикулярных направлений, а не прямого вектора; прямая короче такого пути. Проверка: примените теорему Пифагора и найдите √(x² + y²); например, для (3; 4) длина равна 5, а не 7.
Для работы с координатами вектора нужны координаты точки на плоскости и понимание координатных осей. Теорема Пифагора объясняет формулу длины, а понятия направления, длины и сложения векторов помогают понять смысл вычислений. Позже координаты векторов будут полезны при изучении уравнения прямой и расстояния между точками. Координатный метод позволяет переводить геометрические условия в вычисления и решать задачи с помощью алгебры.
Почему координаты вектора AB находят вычитанием координат A из координат B?
Вектор AB показывает перемещение от точки A к точке B. По каждой оси перемещение равно конечной координате минус начальная, поэтому из координат B вычитают координаты A. Такой порядок сохраняет направление вектора.
Могут ли равные векторы иметь разные координаты?
Нет, равные векторы имеют одинаковые координаты. Их можно перенести параллельно, не изменяя длину и направление, поэтому составляющие вдоль осей останутся прежними.
Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
Из координат конца вычитают соответствующие координаты начала. Если A(x₁; y₁), а B(x₂; y₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁).
Как по координатам векторов найти координаты их суммы или разности?
Для суммы отдельно складывают первые координаты и отдельно вторые. Для разности из первой координаты одного вектора вычитают первую координату другого, а затем так же поступают со вторыми.
Как вычислить длину вектора по его координатам?
Если вектор имеет координаты (x; y), его длина равна √(x² + y²). Формула получается из теоремы Пифагора: координаты задают катеты прямоугольного треугольника, а вектор — гипотенузу.
§ 14. Координаты вектора
