"Геометрия", Мерзляк А.Г., Поляков В.М.; под ред. Подольского В.Е.
Вектор — геометрический объект, который показывает не только длину, но и направление перемещения. Его задают направленным отрезком, однако один и тот же вектор можно изобразить в разных местах плоскости. Чтобы распознать равные векторы, сравнивают их длины и направления, а не положение концов. Особый случай — нулевой вектор: его начало и конец совпадают, поэтому длина равна нулю, а направление не определено.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. От A к B его обозначают overrightarrow{AB}: буква A показывает начало, а B — конец. Порядок букв задаёт направление движения по отрезку. Такое обозначение нужно, чтобы отличать путь от A к B от пути обратно.
Вектор — направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до равных ему направленных отрезков. Вектор обычно обозначают одной строчной буквой со стрелкой, например vec{a}. Это позволяет не привязывать вектор к определённым точкам: его можно изобразить в удобном месте. Главное — сохранить длину и направление.
Равные векторы — векторы, которые одинаково направлены и имеют равные длины. Их начала могут находиться в разных точках, поэтому совпадение концов не является условием равенства. Это определение помогает сравнивать не расположение стрелок, а свойства, которыми задаётся вектор.
Нулевой вектор — вектор, у которого начало и конец совпадают. Его обозначают vec{0}, а его длина равна 0. Направление такого вектора не определяется, потому что отрезок не ведёт ни к одной другой точке. Это особый случай, который нужно отличать от обычной стрелки ненулевой длины.
Обычный отрезок сообщает только расстояние между двумя точками. Если нужно описать перемещение, одной длины недостаточно: например, пройти 3 метра вправо и 3 метра влево — не одно и то же действие. Поэтому для вектора задают начало и конец, а направление читают от первого к второму. Стрелка на чертеже показывает, в какую сторону совершается перемещение.
Запись overrightarrow{AB} относится к направленному отрезку, а vec{a} — к самому вектору, который может быть изображён многими такими отрезками. Представь, что стрелку можно параллельно перенести, не поворачивая и не растягивая: её длина и направление сохраняются. Значит, меняются точки, которыми обозначены концы, но не вектор. Так становится понятно, почему разные направленные отрезки могут задавать один вектор.
Чтобы проверить равенство векторов, нужно выполнить два сравнения. Сначала убедиться, что их длины равны, затем проверить, что они направлены одинаково. Если выполнено только первое условие, равенство не гарантировано: одинаковые по длине стрелки могут смотреть в разные стороны. И наоборот, одинаковая направленность не поможет, если длины различаются.
Равные векторы могут быть приложены к разным точкам, то есть начинаться в разных местах. Это не меняет их свойства: вектор не закреплён за конкретным началом. На чертеже поэтому не следует искать совпадение стрелок или их концов. Достаточно сравнить длину и направление, учитывая, что направление идёт от основания стрелки к её наконечнику.
Если начало и конец направленного отрезка совпали, длина перемещения равна нулю. Никакого движения от одной точки к другой не происходит, поэтому выбрать направление невозможно. Такой отрезок задаёт нулевой вектор, который обозначают vec{0}. При сравнении на рисунке сначала найди начало каждой стрелки, проследи к концу и сопоставь направления; одно лишь положение стрелок на листе не служит признаком равенства.
| Понятие | Как задаётся или обозначается | Главный признак | Особенность |
|---|---|---|---|
| Направленный отрезок | overrightarrow{AB} | Есть начало и конец | Порядок букв задаёт направление |
| Вектор | Строчная буква со стрелкой, например vec{a} | Задан длиной и направлением | Можно изображать разными равными отрезками |
| Равные векторы | Сравнивают длины и направления | Равные длины и одинаковая направленность | Начала могут быть в разных точках |
| Нулевой вектор | vec{0} | Начало совпадает с концом | Длина 0, направления нет |
Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала определи, какой объект задан, затем проверь его признаки. Для равенства двух векторов проверь сразу и длины, и направления. Если концы совпадают с началами, перед тобой нулевой вектор.
На рисунке отмечены точки A и B. Запишите направленный отрезок с началом A и концом B и укажите его длину. Нужно внимательно сохранить заданный порядок: первая точка — начало, вторая — конец. Длину направленного отрезка находят так же, как длину обычного отрезка между этими точками.
Ответ: overrightarrow{AB}; длина равна |AB|. Переставлять буквы нельзя, иначе получится направленный отрезок от B к A.
Даны два направленных отрезка одинаковой длины, стрелки которых направлены одинаково. Определите, задают ли они равные векторы. Здесь не требуется, чтобы отрезки совпали на чертеже: важно проверить условия равенства векторов. По условию уже известно, что длины равны и направления одинаковы.
Ответ: да, векторы равны. Если бы совпадала только длина или только направленность, сделать такой вывод было бы нельзя.
На параллелограмме ABCD сравните векторы, заданные направленными отрезками AB и DC, а также вектор, заданный отрезком AA. Сначала используем свойство параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны. Затем проверим, совпадает ли направление от A к B с направлением от D к C.
Ответ: overrightarrow{AB} = overrightarrow{DC}; overrightarrow{AA} = vec{0}. Нулевой вектор не равен overrightarrow{AB}, если AB имеет ненулевую длину.
Ошибка: считать равными только векторы с совпадающими началами и концами. Так думают, потому что на рисунке привыкли отождествлять объект с его изображением. Но равные векторы могут быть перенесены в другие точки. Проверь себя: сравни длины и направления, не требуя совпадения концов.
Ошибка: сравнивать векторы только по длине. Стрелки одинаковой длины могут быть направлены в разные стороны, поэтому они задают разные векторы. Эта ошибка возникает, когда ученик не учитывает стрелку. Проверь, куда ведёт каждый направленный отрезок от начала к концу.
Ошибка: путать overrightarrow{AB} и overrightarrow{BA}. Перестановка букв меняет начало и конец, а вместе с ними и направление. Ошибиться легко, если читать запись как название обычного отрезка. Перед ответом проговори: «от первой точки ко второй».
Ошибка: приписывать нулевому вектору направление. Иногда направление пытаются определить по положению точки на чертеже. Но у нулевого вектора начало и конец совпадают, так что перемещения в какую-либо сторону нет. Проверь, равна ли длина нулю: если да, направление не задаётся.
Для работы с векторами нужно уметь находить длину отрезка и различать его концы: это помогает правильно записать начало и конец. Параллельные и равные отрезки помогают находить равные векторы на чертеже, но необходимо также учитывать направление. Позже векторы будут использоваться при сложении и вычитании, в координатном методе и в задачах о перемещениях. Поэтому понимание равенства векторов станет основой для новых действий с ними.
Чем вектор отличается от обычного отрезка?
У обычного отрезка нет заданного направления: его концы можно поменять местами. У направленного отрезка отмечены начало и конец, поэтому важен порядок букв. Вектор объединяет все равные направленные отрезки.
Почему равные векторы могут находиться в разных местах?
Вектор определяется длиной и направлением, а не конкретными точками, где он изображён. Поэтому его можно перенести параллельно, не меняя длину и направление. Полученный направленный отрезок задаёт тот же вектор.
Достаточно ли равенства длин, чтобы векторы были равны?
Нет. Кроме равных длин, векторы должны быть одинаково направлены. Равные по длине стрелки, направленные в разные стороны, задают разные векторы.
Как обозначают направленный отрезок и вектор?
Направленный отрезок от A к B обозначают AB с направленной стрелкой над буквами: overrightarrow{AB}. Порядок букв показывает, что начало — A, а конец — B. Вектор обычно обозначают одной строчной буквой со стрелкой, например vec{a}.
Есть ли у нулевого вектора направление?
Нет, направление нулевого вектора не определяется. У него совпадают начало и конец, а длина равна 0. Его обозначают vec{0}.
§ 13. Понятие вектора
