Радикальная ось двух окружностей

Определения и обозначения

Степень точки относительно окружности — величина, равная произведению секущей, проведённой через точку, на её внешнюю часть, если точка расположена вне окружности. В общем случае для точки P, центра O и радиуса r степень выражается формулой PO² − r². Эта запись помогает сравнивать положение точки относительно разных окружностей, не вычисляя каждый раз отрезки секущей.

Радикальная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно обеих окружностей равны. Иными словами, для каждой её точки P выполняется равенство степеней. Такое определение позволяет находить не только точки пересечения окружностей, но и точки с равными степенями, даже если сами окружности не пересекаются.

Линия центров — прямая, проходящая через центры двух окружностей. Если центры различны, радикальная ось перпендикулярна линии центров. Это свойство помогает определить направление оси и строить её без поиска всех точек, лежащих на ней.

Как это устроено

Пусть центры окружностей — O₁ и O₂, их радиусы — r₁ и r₂, а P — точка, степень которой нужно сравнить. Запишем степени как PO₁² − r₁² и PO₂² − r₂² и приравняем их. Если раскрыть квадраты расстояний через координаты, одинаковые квадраты координат точки P сократятся. Останется уравнение первой степени, то есть уравнение прямой, а не окружности.

Чтобы увидеть направление этой прямой, мысленно выберем линию центров за ось координат. Тогда центры имеют координаты (0; 0) и (d; 0), а точка P — (x; y). В разности квадратов расстояний величина y² сокращается, и равенство степеней определяет одно значение x. Значит, координата вдоль линии центров фиксирована, а координата поперёк неё может меняться: множество таких точек образует прямую, перпендикулярную линии центров.

Для построения радикальной оси пересекающихся окружностей можно провести через них ещё одну окружность, пересекающую каждую из данных в двух точках. Соедините прямыми пары точек пересечения: получатся хорды каждой из данных окружностей. Точка пересечения этих хорд имеет равные степени относительно обеих окружностей по теореме о секущих. Чтобы построить всю ось, найдите ещё одну такую точку и проведите через две найденные точки прямую.

Почему общая хорда лежит на радикальной оси? Пусть окружности пересекаются в A и B, а P — любая точка прямой AB. Эта прямая пересекает каждую окружность в одних и тех же точках A и B. По теореме о секущих степени P равны произведению направленных отрезков PA и PB для обеих окружностей. Поэтому каждая точка прямой AB имеет равные степени, а общая хорда принадлежит радикальной оси.

Равенство степеней задаёт прямую и тогда, когда окружности не пересекаются: в его уравнении не требуется, чтобы точка оси принадлежала окружности. Поэтому радикальная ось в таком случае может пройти мимо обеих окружностей. Для неконцентрических окружностей она всё равно существует; если же центры совпадают, уравнение требует отдельного рассмотрения, так как обычно вместо прямой получается пустое множество или вся плоскость.

Радикальная ось в зависимости от взаимного расположения окружностей

Сначала определите, есть ли у окружностей общие точки, а затем используйте соответствующую строку таблицы. Во всех случаях для неконцентрических окружностей радикальная ось задаётся равенством степеней. Таблица показывает, как она связана с общими точками, но не означает, что ось всегда пересекает сами окружности.

Разбор задач

Задача 1

Две окружности пересекаются в точках A и B. Докажите, что прямая AB является их радикальной осью. Нужно установить не только, что A и B лежат на обеих окружностях, но и что степени всех точек прямой AB совпадают. Для этого применим теорему о секущих к любой точке P на этой прямой.

1. Возьмём произвольную точку P на прямой AB. Для каждой окружности прямая AB является секущей, которая пересекает её в A и B.
2. По теореме о секущих степень P относительно первой окружности равна произведению направленных отрезков PA и PB. Для второй окружности получаем то же произведение, поскольку точки пересечения секущей снова A и B.
3. Следовательно, степени P относительно окружностей равны. Так как P была произвольной точкой AB, вся прямая AB входит в радикальную ось; поскольку радикальная ось — прямая, она совпадает с AB.

Ответ: AB — радикальная ось данных окружностей.

Задача 2

Центры двух окружностей лежат на горизонтальной прямой. Найдите направление радикальной оси и объясните, почему она перпендикулярна линии центров. Здесь важно сравнивать именно степени, а не расстояния до центров: у окружностей могут быть разные радиусы. Обозначим радиусы через r₁ и r₂, а координаты центров выберем равными (0; 0) и (d; 0).

1. Пусть P имеет координаты (x; y). Её степени относительно окружностей равны x² + y² − r₁² и (x − d)² + y² − r₂².
2. Приравняем выражения. Слагаемые y² сократятся, а после раскрытия скобок останется линейное уравнение относительно x, не содержащее y.
3. Значит, x фиксирован, а y может принимать любое значение. Все подходящие точки лежат на вертикальной прямой, а горизонтальная линия центров ей перпендикулярна.

Ответ: радикальная ось вертикальна, то есть перпендикулярна горизонтальной линии центров.

Задача 3

Центры окружностей находятся в точках O₁(0; 0) и O₂(8; 0), радиусы равны 5 и 3. Найдите уравнение радикальной оси и проверьте взаимное расположение окружностей. Подстановка координат в формулу степени позволяет найти уравнение напрямую. Проверка расстояния между центрами заодно показывает, есть ли у окружностей общие точки.

1. Пусть P = (x; y). Степени точки относительно окружностей равны x² + y² − 25 и (x − 8)² + y² − 9.
2. Приравняем их: x² + y² − 25 = (x − 8)² + y² − 9. Сокращаем y², раскрываем квадрат: x² − 25 = x² − 16x + 55, откуда 16x = 80 и x = 5.
3. Следовательно, радикальная ось имеет уравнение x = 5. Расстояние между центрами равно 8, а сумма радиусов тоже равна 8, поэтому окружности касаются; точка касания — (5; 0).

Ответ: x = 5. Окружности касаются, а не расположены без общих точек; точка касания лежит на найденной радикальной оси.

Типичные ошибки

Считать, что радикальная ось существует только у пересекающихся окружностей, неверно: равенство степеней задаёт её и при отсутствии общих точек. Такая ошибка появляется из-за привычки связывать прямую AB с общей хордой. Проверка простая: составьте равенство выражений PO₁² − r₁² и PO₂² − r₂² — общие точки окружностей для этого не нужны.

Радикальную ось иногда принимают за линию центров, потому что обе прямые связаны с центрами. Но они не совпадают, а перпендикулярны друг другу; при координатном решении это видно по тому, какая координата фиксирована. Для самопроверки отметьте центры и проверьте, образуют ли оси прямой угол.

Утверждение, что общая хорда является радикальной осью, требует обоснования, а не только рисунка. Нужно показать равенство степеней каждой точки хорды, применив теорему о секущих к прямой AB. Если доказаны равные степени лишь для A и B, этого недостаточно, чтобы утверждать то же для всех точек прямой.

Приравнивать расстояния до центров вместо степеней нельзя: степени зависят также от радиусов. Эту ошибку легко допустить, если помнить только связь радикальной оси с центрами. Запишите для каждой окружности расстояние до центра в квадрате минус квадрат радиуса и лишь затем приравнивайте выражения.

Связь с другими темами

Для работы с радикальной осью нужны определение степени точки относительно окружности и теорема о секущих: первая задаёт равенство, а вторая помогает обосновать свойства общей хорды. Координатная запись степени связывает тему с уравнением окружности и показывает, почему получается прямая. Эти знания пригодятся при исследовании взаимного расположения окружностей и построении точек с равными степенями.

Что запомнить

• Радикальная ось — множество точек с равными степенями относительно двух окружностей.
• Радикальная ось двух неконцентрических окружностей является прямой.
• Радикальная ось перпендикулярна линии центров.
• Общая хорда пересекающихся окружностей лежит на их радикальной оси.
• Радикальная ось может не пересекать ни одну из окружностей.
• При касании точка касания принадлежит радикальной оси.