"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Отрезок — часть прямой между двумя точками, причём сами точки тоже входят в него. Отрезки помогают измерять расстояния и описывать фигуры: например, стороны треугольника — это отрезки. У каждого отрезка есть концы и длина. Чтобы сравнить отрезки, достаточно сравнить их длины, даже если на чертеже они расположены по-разному. Если точка делит отрезок на части, длины частей складывают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки входят в отрезок, как и все точки прямой между ними. Поэтому отрезок — не только два конца, но и всё пространство между ними. Это понятие помогает точно описывать части прямых на чертеже.
Концы отрезка — две точки, которыми он ограничен. Если концы обозначены буквами A и B, отрезок записывают AB. По его обозначению сразу понятно, какие точки задают отрезок. Это удобно, когда на чертеже несколько отрезков.
Длина отрезка — положительное число, показывающее, насколько он протяжён. Длину отрезка AB обозначают AB, например AB = 5 см. Обозначение используют и для самого отрезка, и для его длины, поэтому смысл определяют по записи: длина выражается числом и единицей измерения. Длина позволяет сравнивать отрезки.
Равные отрезки — отрезки с одинаковой длиной. Их обозначают, например, AB = CD, если длины этих отрезков равны. При этом отрезки могут быть расположены по-разному. Понятие равенства помогает сравнивать отрезки без привязки к их месту на чертеже.
Две различные точки на прямой делят её на части, и между выбранными точками получается отрезок. Он содержит сами точки и все точки прямой, лежащие между ними. Если оставить только концы, между ними образуется пробел, и это уже не весь отрезок. Поэтому при изображении отрезка нужно мысленно учитывать каждую точку между его концами.
Название отрезка связано с его концами: других точек для обозначения не требуется. Запись AB указывает на концы A и B, а запись BA — на те же самые точки, только в обратном порядке. Порядок букв не задаёт направление движения и не создаёт новый отрезок. Это позволяет называть одну фигуру разными способами.
Чтобы сравнить отрезки на чертеже, можно наложить один на другой: совместить один конец, а затем проверить, где окажется второй. Если концы совпали, отрезки равны; если нет, длиннее тот, чей второй конец дальше от общего. Когда длины уже выражены числами в одинаковых единицах, достаточно сравнить числа. Так можно обойтись без наложения, даже если отрезки находятся в разных местах.
Если внутри отрезка AB отмечена точка C, она делит его на части AC и CB. Движение от A к B проходит сначала одну часть, затем другую, поэтому длину всего отрезка получают сложением: AB = AC + CB. Например, при AC = 3 см и CB = 4 см длина AB равна 7 см. Это правило применимо, когда C действительно лежит между A и B.
Равенство отрезков означает равенство их длин, а не совпадение изображений. Один отрезок может быть горизонтальным, а другой наклонным или находиться в другой части плоскости. Такое положение не меняет расстояние между концами. Поэтому на чертеже сравнивают длины, а не то, насколько близко расположены отрезки друг к другу.
| Ситуация | Что известно | Что следует |
|---|---|---|
| Равные отрезки | Длины AB и CD одинаковы | AB = CD |
| Длины отрезков | AB = 7 см, CD = 5 см | AB длиннее CD на 2 см |
| Точка C лежит между A и B | AC и CB — части AB | AB = AC + CB |
| Отрезок разделён на части | Известны длины частей | Длина целого равна сумме длин частей |
Сначала найдите в таблице подходящую ситуацию, а затем проверьте, совпадают ли с ней данные задачи. В строках о сложении частей убедитесь, что точки действительно лежат в нужном порядке на одном отрезке. Единицы измерения сравнивают или складывают только после приведения к одинаковому виду.
Задача 1. На прямой отмечены точки A и B. Назовите отрезок, который они ограничивают, и укажите его концы. Нужно использовать определение отрезка: его задают именно ограничивающие точки. Порядок букв в обозначении можно выбрать любой.
Ответ: отрезок AB (или BA), его концы — A и B. Название не включает остальные точки прямой, но сам отрезок включает все точки между A и B. Поэтому важно различать его обозначение и полный состав фигуры.
Задача 2. Длины отрезков AB и CD равны 7 см и 5 см. Определите, какой отрезок длиннее и на сколько. Здесь значения уже даны в одинаковых единицах, поэтому сравнить можно непосредственно. Чтобы найти разницу, из большей длины вычитают меньшую.
Ответ: AB длиннее CD на 2 см. Сравнение относится к длинам, а не к положению отрезков на чертеже. Если бы единицы измерения различались, перед сравнением их нужно было бы привести к одинаковым.
Задача 3. Точка C лежит между A и B; AC = 3,8 см, CB = 6,2 см. Найдите AB и проверьте, равен ли он отрезку длиной 10 см. Условие о положении C позволяет считать AC и CB частями одного целого. Поэтому сначала складываем их длины, а затем сопоставляем результат с 10 см.
Ответ: AB = 10 см, значит, его длина равна 10 см. Сумма получилась потому, что C находится между A и B. Если бы точка C не лежала на отрезке AB, складывать эти длины для нахождения AB было бы нельзя.
Ошибка — считать, что отрезок состоит только из двух концов. Так думают, когда смотрят на точечные отметки и забывают про часть прямой между ними. Проверьте себя: мысленно отметьте на прямой промежуточную точку — она тоже принадлежит отрезку. Полное определение включает оба конца и все точки между ними.
Ошибка — считать равными только отрезки, лежащие на одной прямой или совпадающие на рисунке. Такое представление возникает, если равенство связывать с одинаковым положением фигур. Сравните числовые длины: если они одинаковы, отрезки равны независимо от расположения. При наложении важно совместить концы, а не всё положение на исходном чертеже.
Ошибка — не различать отрезок и его длину. Обозначение AB может означать фигуру, а в записи вроде AB = 5 см — её числовую длину. Это смешение возникает из-за одинаковых букв. Проверьте, можно ли поставить рядом с AB единицу измерения или число: тогда речь идёт о длине, а не о фигуре.
Ошибка — складывать AB и BC как длину AC, не проверив положение B. Это правило работает лишь тогда, когда B лежит между A и C и отрезок AC состоит из AB и BC. Иначе части могут располагаться по-другому, и сумма не даст нужную длину. Перед вычислением найдите на чертеже концы целого отрезка и убедитесь, что промежуточная точка находится между ними.
Чтобы работать с отрезками, нужно уметь распознавать точки и прямые, отмечать точки на чертеже и читать буквенные обозначения. Эти навыки помогают понять, какие именно отрезки изображены и как расположены их концы. Длина отрезка и правило сложения частей пригодятся при изучении ломаных и треугольников. Они также нужны для вычисления периметра — общей длины границы фигуры.
Входят ли концы в отрезок?
Да, оба конца входят в отрезок. Он состоит из концов и всех точек прямой, расположенных между ними.
Можно ли обозначить один отрезок буквами BA вместо AB?
Да, можно: AB и BA обозначают один и тот же отрезок с концами A и B. Порядок букв не меняет его.
Чем отрезок отличается от его длины?
Отрезок — геометрическая фигура, состоящая из точек, а длина — положительное число, которое её измеряет. Обозначение AB по контексту может указывать на отрезок или на его длину.
Могут ли равные отрезки находиться в разных местах чертежа?
Да. Для равенства достаточно, чтобы длины отрезков были одинаковыми; их положение и направление значения не имеют.
Когда можно сложить длины двух отрезков, чтобы получить длину третьего?
Это можно сделать, если отрезки составляют части одного отрезка. Например, если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.
§ 1. Отрезки
