5. Полуплоскости

Определения и обозначения

Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её делит прямая. Эту прямую называют границей: по разные стороны от неё находятся две полуплоскости. Представьте лист бумаги, который пересекает проведённая через него прямая: линия отделяет одну область листа от другой. Понятие помогает точно описывать, где расположены точки относительно прямой.

Граничная прямая полуплоскости — прямая, которая отделяет эту полуплоскость от второй. Она служит общей границей обеих частей плоскости, но сама в них не входит. Такое уточнение нужно, чтобы не смешивать точки на прямой с точками по одну или другую её сторону. Например, если точка лежит на границе, нельзя назвать её точкой одной из двух полуплоскостей.

Точки по одну сторону от прямой — это точки, принадлежащие одной и той же полуплоскости. Они могут находиться на разном расстоянии от прямой и далеко друг от друга. Для определения важно не расстояние между точками, а то, на какой стороне границы расположена каждая. Такое описание удобно, когда нужно сравнить положение двух точек.

Точки по разные стороны от прямой — это точки, принадлежащие разным полуплоскостям. Между ними находится граничная прямая, поэтому соединяющий точки отрезок пересекает её. Это определение позволяет связать расположение точек с поведением отрезка. Им пользуются и в обратном рассуждении: по пересечению отрезка можно определить, по разные ли стороны находятся его концы.

Как это устроено

Почему прямая делит плоскость именно на две части? Если начать движение от точки, не лежащей на прямой, и пересечь эту прямую, окажешься по другую её сторону. Чтобы перейти с одной стороны на другую, нужно пройти через границу; не пересекая её, нельзя попасть в соседнюю область. Поэтому плоскость, разделённую прямой, рассматривают как две полуплоскости, а саму прямую — отдельно, как их границу.

Чтобы понять, в одной ли полуплоскости находятся точки A и B, сначала отметьте прямую, относительно которой ведётся сравнение. Затем определите, по какую сторону от неё расположена каждая точка: если обе на одной стороне, они в одной полуплоскости, а если по разные стороны — в разных. При этом точки могут быть близкими или удалёнными друг от друга, и это не меняет ответа. Точку на прямой нельзя отнести ни к одной стороне.

Если концы отрезка AB находятся в разных полуплоскостях и не лежат на границе, отрезок пересекает прямую. Причина в том, что отрезок соединяет точки по разные стороны, а любой путь между ними должен пройти через границу. У отрезка нет обхода вокруг конца прямой: он идёт прямо от A к B. Поэтому на этом пути найдётся точка, общая отрезку и граничной прямой.

Верно и обратное утверждение: если отрезок с концами, не лежащими на прямой, пересекает её, его концы находятся в разных полуплоскостях. Представьте, что оба конца расположены с одной стороны. Тогда отрезок, соединяющий их, целиком остаётся в той же полуплоскости и не достигает границы. Значит, пересечение возможно только тогда, когда концы расположены по разные стороны.

Точка на граничной прямой не относится к полуплоскостям, потому что не находится ни по одну, ни по другую сторону от неё. Это не третья полуплоскость, а часть самой границы. Поэтому, если один конец отрезка лежит на прямой, он уже принадлежит ей, и отрезок имеет с прямой общую точку в этом конце. Утверждения о том, что концы лежат в разных полуплоскостях, применяют только к концам, не лежащим на прямой.

Положение точек относительно прямой

Таблица показывает, что можно заключить о пересечении, исходя из положения концов. В последней строке один конец лежит на прямой, поэтому отрезок пересекает её как минимум в этом конце. В первых двух строках предполагается, что обе точки не лежат на границе.

Разбор задач

Задача 1. Дана прямая и отмечены точки A и B, не лежащие на ней. Определить, в одной ли полуплоскости находятся точки. Решение удобно начать с самой прямой: она делит плоскость на две стороны. Расстояние между A и B для ответа не требуется.

1. Определяем, по какую сторону от прямой находится точка A. Эта сторона принадлежит одной полуплоскости. Положение A задаёт, с чем сравнивать точку B.

2. Определяем сторону для точки B. Если она находится там же, где A, точки принадлежат одной полуплоскости. Если она на другой стороне, точки принадлежат разным полуплоскостям.

3. Сравниваем стороны, а не расстояние между точками. Так мы используем именно определение полуплоскостей. Ответ: точка A и точка B в одной полуплоскости, если расположены по одну сторону от прямой; иначе — в разных.

Задача 2. Дана прямая и отрезок AB, пересекающий её; ни A, ни B на прямой не лежат. Определить взаимное положение концов. По одному только рисунку можно не угадывать сторону, а применить утверждение о пересечении отрезка. Важно проверить условие о концах: оба должны быть вне прямой.

1. Устанавливаем, что точка пересечения принадлежит отрезку AB и граничной прямой. Значит, отрезок действительно проходит с одной стороны прямой на другую. Пересечение не объясняется тем, что один из его концов уже лежит на границе.

2. Применяем обратное утверждение: если отрезок с концами вне прямой пересекает её, концы находятся в разных полуплоскостях. Это и есть нужный признак. Ответ: точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно данной прямой.

Задача 3. Точки A и B лежат по разные стороны от прямой. На отрезке AB отмечена точка C пересечения с прямой. Нужно обосновать, что C принадлежит и отрезку AB, и прямой. Здесь уже дано, что C — точка пересечения; нужно раскрыть смысл этого условия и связать его с расположением A и B. Тогда не придётся делать вывод только по рисунку.

1. Так как A и B лежат по разные стороны от прямой, они принадлежат разным полуплоскостям. По свойству таких точек отрезок AB пересекает граничную прямую. Пересечение происходит на самом отрезке, а не на его продолжении.

2. Точка C отмечена как точка пересечения отрезка AB с прямой. Следовательно, она принадлежит отрезку AB и данной прямой одновременно. Ответ: C лежит и на отрезке AB, и на граничной прямой.

Типичные ошибки

Ошибка: считать граничную прямую частью одной из полуплоскостей. Так можно ошибиться, потому что в обычной речи границу часто включают в область. Проверьте себя: полуплоскости — области по разные стороны, а точки на прямой не находятся ни на одной из этих сторон.

Ошибка: судить о положении точек по тому, насколько далеко они друг от друга. Расстояние кажется заметным признаком, но оно не показывает, по одну ли сторону от прямой находятся точки. Чтобы проверить себя, мысленно проведите через плоскость граничную прямую и сравните стороны для каждой точки.

Ошибка: утверждать, что отрезок между точками одной полуплоскости обязательно пересекает прямую. Это происходит из-за путаницы между условиями «по одну сторону» и «по разные стороны». Проверьте, где расположены концы: у точек одной полуплоскости отрезок не пересекает граничную прямую.

Ошибка: применять утверждения о пересечении, не проверив, лежит ли конец отрезка на прямой. Если конец лежит на границе, отрезок пересекает её уже в этой точке, и рассуждать о двух полуплоскостях для такого конца нельзя. Перед применением признака убедитесь, что оба конца не принадлежат прямой.

Связь с другими темами

Для работы с полуплоскостями нужно различать точку, прямую, плоскость и отрезок, а также понимать, что означает принадлежность точки фигуре. Например, если точка принадлежит отрезку, она лежит на нём, а не только на его продолжении. Эти базовые понятия помогают точно описывать пересечение отрезка с прямой. Полуплоскости пригодятся при изучении углов, взаимного расположения геометрических фигур и доказательстве утверждений о пересечении прямых и отрезков.

Что запомнить

• Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
• Граничная прямая отделяет одну полуплоскость от другой.
• Точки одной полуплоскости находятся по одну сторону от прямой.
• Точки разных полуплоскостей находятся по разные стороны от прямой.
• Отрезок с концами в разных полуплоскостях пересекает граничную прямую.
• Если отрезок с концами вне прямой пересекает её, его концы лежат в разных полуплоскостях.