6. Полупрямая

Определения и обозначения

Полупрямая — часть прямой, состоящая из её начальной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Иными словами, точка на прямой задаёт место, откуда фигура начинается, а дальше она продолжается только в одном направлении. Это понятие позволяет описывать направление, не задавая конечную точку.

Начало полупрямой — точка, от которой она начинается и которая входит в неё. Значит, полупрямая не обрывается перед началом: эта точка является её частью. Такое уточнение отличает полупрямую от части прямой, из которой начальную точку исключили.

Полупрямую обозначают двумя прописными буквами: первая указывает начало, вторая — точку, через которую она проходит; например, полупрямая OA. Поэтому порядок букв важен: запись помогает сразу понять, откуда начинается направление. Вторую точку можно выбирать из тех, что лежат на этой полупрямой.

Противоположные полупрямые — две полупрямые с общим началом, лежащие на одной прямой по разные стороны от него. Они расходятся от общей точки в противоположных направлениях. Это название применяют только тогда, когда выполнены оба условия: общая прямая и разные стороны начала.

Как это устроено

Представь прямую и отмеченную на ней точку O. Все остальные точки прямой оказываются по одну или по другую сторону от O, потому что прямая проходит через эту точку в двух направлениях. Каждая сторона вместе с самой точкой O образует полупрямую: точку включают в обе части, так что они имеют общее начало. Если бы O не входила ни в одну часть, разделение прямой оставило бы саму точку вне обеих полупрямых.

Начальная точка входит в полупрямую именно потому, что она задаёт её начало и лежит на этой фигуре. От неё можно двигаться по прямой в выбранную сторону, не встречая конечной точки. Если убрать начало, получится уже не полупрямая в принятом здесь смысле, а часть прямой без граничной точки. Поэтому при изображении и обозначении нельзя считать начало просто меткой рядом с фигурой.

В записи OA буквы читают по порядку: сначала O, потом A. Первая буква называет точку, из которой начинается полупрямая, а вторая помогает понять, в какую сторону она направлена. Через A полупрямая проходит, но не заканчивается: за A на той же стороне могут находиться и другие её точки. Если поменять буквы местами и написать AO, началом станет A, а направление будет задано уже от A к O.

Пусть точки A, O и B лежат на одной прямой, причём O находится между A и B. Тогда полупрямая OA идёт от O в сторону A, а OB — от O в сторону B. У них совпадает начало, но общих точек прямой по одну сторону от O нет: направления противоположны. Поэтому эти полупрямые называют противоположными.

Однако само по себе общее начало не делает полупрямые противоположными. Например, две полупрямые могут выходить из O в разные стороны, но проходить не по одной прямой, а по двум прямым, пересекающимся в O. Тогда они образуют угол и не являются противоположными. Чтобы проверить условие, нужно установить и общую прямую, и то, что начало разделяет полупрямые, направленные в разные стороны.

Сравнение прямой, отрезка и полупрямой

Сравнивая фигуры, сначала посмотри, в скольких направлениях они продолжаются, а затем проверь, входят ли граничные точки. У прямой границ нет, у отрезка две, у полупрямой одна. В обозначении полупрямой первая буква показывает её начало.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки O и A. Назовите полупрямую с началом O, проходящую через A. В условии уже указаны точка начала и точка, задающая направление. Нужно расположить их в обозначении так, чтобы запись соответствовала правилу.

1. Сначала записываем букву O, потому что полупрямая начинается в точке O.
2. Затем добавляем букву A: через эту точку проходит полупрямая, и она показывает направление от O.
3. Получаем обозначение OA; переставлять буквы нельзя, иначе изменится начало.

Ответ: полупрямая OA. Она начинается в O, проходит через A и продолжается дальше в ту же сторону.

Задача 2

На прямой точки расположены в порядке A, O, B. Назовите противоположные полупрямые с началом O. Порядок точек показывает, что A находится с одной стороны от O, а B — с другой. Осталось проверить условия, необходимые для противоположных полупрямых.

1. У обеих полупрямых должно быть начало O, поэтому обозначения начинаются с буквы O.
2. Точки A и B лежат на одной прямой и по разные стороны от O, значит, направления от O противоположны.
3. Записываем полупрямую OA в сторону A и полупрямую OB в сторону B.

Ответ: противоположные полупрямые OA и OB. Здесь важны и общий конец O, и расположение точек на одной прямой по разные стороны от него.

Задача 3

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B и C находятся по одну сторону от A. Совпадают ли полупрямые AB и AC? Разные последние буквы сами по себе не дают ответа: нужно выяснить, задают ли B и C одно направление от A. В условии сказано, что обе точки находятся по одну сторону, и этого достаточно, чтобы сравнить полупрямые.

1. У записей AB и AC одинаковое начало A.
2. Точки B и C лежат на одной прямой с A и находятся по одну сторону от неё.
3. Значит, обе полупрямые начинаются в A и идут в одну сторону; каждая проходит через точки, лежащие дальше на этом направлении.

Ответ: полупрямые AB и AC совпадают. Разные точки B и C могут указывать на одну и ту же полупрямую, если они расположены в одном направлении от начала.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что в обозначении OA начало — точка A. Так можно подумать, если прочитать буквы в привычном порядке названия точек, не учитывая правило обозначения. Проверь себя: первая буква всегда обозначает начало, поэтому для OA это точка O. Вторая буква указывает точку на полупрямой.

Ошибка: исключать начальную точку из полупрямой. Иногда её принимают за отдельную отметку, от которой фигура только начинается, но по определению точка входит в полупрямую. Чтобы проверить себя, назови, какие точки входят в фигуру: начало и все точки прямой в выбранную сторону. Если начало исключено, описание неверно.

Ошибка: называть противоположными любые полупрямые с общим началом. Общее начало действительно есть у многих полупрямых, в том числе у сторон угла, поэтому легко забыть про остальные условия. Проверь, лежат ли они на одной прямой и находятся ли по разные стороны от начала. Если хотя бы одно условие не выполнено, они не противоположны.

Ошибка: считать полупрямые AB и AC разными только из-за разных вторых букв. Отмеченные точки могут находиться на одной прямой и в одном направлении от A, поэтому обозначать разные полупрямые они не обязаны. Сравни не буквы, а положение точек относительно начала. Если B и C расположены по одну сторону от A на одной прямой, полупрямые совпадают.

Связь с другими темами

Чтобы изучать полупрямую, нужно знать, что такое точка и прямая, а также уметь определять, принадлежит ли точка прямой. Положение точек по разные стороны от выбранной точки помогает понять, как прямая делится на полупрямые. Позже это понятие понадобится при изучении углов: стороны угла являются полупрямыми с общим началом. Значит, умение читать обозначения и сравнивать направления поможет разбирать устройство угла.

Что запомнить

• Полупрямая состоит из начальной точки и всех точек прямой по одну сторону от неё.
• Начальная точка принадлежит полупрямой.
• В обозначении полупрямой первая буква указывает её начало.
• Вторая буква обозначает точку, через которую проходит полупрямая.
• Противоположные полупрямые имеют общее начало и лежат на одной прямой.
• Противоположные полупрямые направлены в разные стороны.