7. Угол

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, если лучи OA и OB начинаются в точке O, они образуют угол AOB. Это определение помогает узнавать углы на чертеже: нужно найти два луча, которые выходят из одной точки.

Стороны угла — лучи, образующие угол. Их обозначают двумя буквами: первой ставят букву начала луча, второй — букву любой точки на нём; так стороны можно записать как OA и OB. Лучи продолжаются от вершины бесконечно, поэтому стороны угла не ограничиваются нарисованными отрезками. По обозначениям сторон удобно понять, какие именно лучи образуют фигуру.

Вершина угла — общая начальная точка его сторон. В записи угла она задаёт точку, в которой лучи соединяются, и среди трёх букв занимает среднее место. Например, в ∠AOB вершина — O, а стороны — OA и OB. Если поставить букву вершины не туда, запись будет указывать на другой угол или окажется неверной.

Угол обозначают тремя заглавными буквами, располагая букву вершины посередине: ∠ABC читают «угол ABC», его вершина B, стороны BA и BC. Если у вершины на рисунке можно однозначно распознать только один угол, достаточно одной буквы: ∠B. Три буквы нужны, когда важно точно указать стороны, а одна — когда неоднозначности нет. Знак ∠ подсказывает, что запись относится к углу.

Как это устроено

Угол возникает, когда из одной точки проводят два луча. Поскольку оба луча начинаются в этой точке, она служит общей опорой фигуры и называется вершиной. Каждый луч задаёт одно направление от вершины, поэтому два направления вместе определяют стороны угла. Если бы начала лучей не совпадали, они не образовали бы угол в принятом смысле.

Один луч делит плоскость на две полуплоскости — две области по разные стороны от прямой, на которой лежит луч. Если рассматривать два луча с общей вершиной, между их сторонами оказываются две области, и каждая соответствует углу. Поэтому одной пары лучей иногда недостаточно, чтобы понять, какую область имеют в виду. На рисунке нужную область могут выделить дугой или штриховкой, а в условии — уточнить словами.

Внутренней областью угла называют часть плоскости между его сторонами. Её распознают по положению точек: точка внутри лежит между направлениями обоих лучей, а точка на стороне принадлежит одному из образующих лучей. Граница области проходит по сторонам угла, а не по произвольной линии. Это понятие позволяет говорить о точках внутри угла и о лучах, которые проходят через эту область.

Угол можно понимать как фигуру из двух лучей с общим началом и как часть плоскости, расположенную между сторонами. Первое понимание подчёркивает границу угла, второе — область, которую эта граница ограничивает с двух сторон. Они связаны: стороны задают направления, а направления определяют, какие точки лежат между ними. Какое значение требуется в задаче, подсказывает контекст: например, при поиске внутренней точки важна именно область.

Если из вершины провести луч через внутреннюю область угла, он окажется между его сторонами. Новый луч становится общей стороной двух меньших углов: один расположен с одной его стороны, другой — с другой. Вместе эти части покрывают исходную область, поэтому исходный угол состоит из двух образовавшихся углов. Сам исходный угол при этом не исчезает — его по-прежнему задают первоначальные стороны.

Части угла и их обозначение

Пользуясь таблицей, сначала найдите общую начальную точку лучей, а затем определите их названия. В записи из трёх букв проверьте, что вершина стоит посередине. Одной буквы достаточно только тогда, когда у этой вершины невозможно перепутать нужный угол с другим.

Разбор задач

Задача 1

Условие: даны два луча OA и OB с общим началом O. Назовите вершину и стороны угла и запишите его обозначение. Нужно сначала установить, какая точка принадлежит обоим лучам, а затем оформить запись так, чтобы по ней можно было восстановить фигуру.

1. Сравним начала лучей OA и OB: оба начинаются в точке O.
2. Значит, O — вершина, а стороны угла — лучи OA и OB.
3. Запишем крайние буквы A и B, а букву вершины O поставим между ними: ∠AOB. Можно также записать ∠BOA, поскольку стороны и вершина остаются теми же.

Ответ: вершина — O, стороны — OA и OB, угол — ∠AOB или ∠BOA.

Задача 2

Условие: на рисунке изображены углы ABC и CBD. Определите их общую сторону и вершину. Чтобы не угадывать по положению линий, разберём обозначения и выясним, какие буквы повторяются.

1. В ∠ABC средняя буква B, значит, его вершина — B, а стороны — BA и BC.
2. В ∠CBD средняя буква B, поэтому вершина второго угла тоже B; его стороны — BC и BD.
3. Сопоставим стороны: в обоих обозначениях есть луч BC, следовательно, он общий для углов.

Ответ: общая вершина — B, общая сторона — луч BC. Здесь средняя буква помогает найти вершину, а повторяющаяся пара соседних букв показывает общий луч.

Задача 3

Условие: луч OC проходит внутри угла AOB. Перечислите образовавшиеся углы и укажите, из каких частей состоит исходный угол. Важно отличить первоначальную фигуру от тех, которые появились после проведения нового луча.

1. У исходного угла вершина O, стороны OA и OB; его обозначение — ∠AOB.
2. Луч OC проходит между сторонами, поэтому он образует с OA угол ∠AOC, а с OB — угол ∠COB.
3. Оба меньших угла лежат внутри исходного и вместе заполняют его область; луч OC является их общей стороной.

Ответ: образовались ∠AOC и ∠COB; исходный ∠AOB состоит из этих двух углов. Сам угол AOB остаётся исходным углом, а два остальных — его части.

Типичные ошибки

Иногда букву вершины в обозначении из трёх букв ставят не посередине. Так нарушается смысл записи: например, в ∠ABC вершиной служит B, а не A или C. Ошибка возникает, когда буквы просто перечисляют в произвольном порядке. Проверка простая: найдите точку, где сходятся стороны, и поставьте её букву между двумя другими.

Стороны угла могут ошибочно принять за отрезки, потому что на рисунке лучи обычно изображают короткими линиями. Но луч продолжается от вершины бесконечно в одном направлении, тогда как у отрезка есть два конца. Условные чертёжные линии лишь показывают направление и могут быть короче самих лучей. Проверьте себя по обозначению: OA — луч с началом O, а не только часть линии между O и A.

Другая ошибка — считать углом только область между сторонами или только два луча. Её допускают, когда забывают, что в геометрии используют оба представления: границу из лучей и область, которую она задаёт. Из-за этого можно неверно ответить на вопрос о точке внутри угла или о его сторонах. Сверяйтесь с тем, что спрашивают: стороны — лучи, внутренняя область — часть плоскости между ними.

Также полагают, что два луча всегда задают единственный угол. Однако луч делит плоскость на полуплоскости, и между двумя сторонами можно рассматривать две области. Путаница появляется, если на чертеже не отмечено, какую именно область имеют в виду. Уточните её по условию или выделению на рисунке; если указаний нет, не приписывайте одной области единственность автоматически.

Связь с другими темами

Для понимания угла нужно знать, что такое точка, прямая, луч и полуплоскость. Эти понятия объясняют, где начинается сторона, как она продолжается и почему плоскость разделяется на области. Угол понадобится при изучении видов и измерения углов, а также смежных и вертикальных углов. Его обозначения используют при работе с треугольниками и другими геометрическими фигурами: они помогают точно указать нужную вершину и стороны.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Луч, образующий угол, называется его стороной.
• В обозначении угла из трёх букв буква вершины стоит посередине.
• Угол рассматривают как фигуру из двух лучей и как область плоскости между ними.
• Луч внутри угла делит его на два угла.