8. Откладывание отрезков и углов

Определения и обозначения

Откладывание отрезка на луче — построение на данном луче, начиная от его начала, отрезка, равного заданному. Например, если дан отрезок AB, а луч начинается в точке O, нужно найти на луче точку X так, чтобы OX = AB. Это построение помогает точно задавать длину в выбранном направлении.

Единственность отложенного отрезка означает, что на данном луче можно отложить только один отрезок, равный заданному. Если длина отрезка известна, то и положение его конца на луче определяется однозначно. Это свойство позволяет быть уверенным, что построение даст один результат.

Откладывание угла от луча — построение в заданной полуплоскости от данного луча угла, равного исходному. Полуплоскостью называют одну из двух частей плоскости, на которые её делит прямая. Такая задача нужна, когда угол требуется построить не просто рядом, а в конкретном положении.

Единственность отложенного угла означает, что в выбранной полуплоскости от данного луча можно построить только один угол, равный заданному. Первый луч уже задан, а указание стороны плоскости определяет, куда направить второй. Поэтому результат можно проверить и сравнить с исходным углом.

Как это устроено

Задачу об откладывании отрезка формулируют для луча, потому что у отрезка есть начальная точка и длина, но само расстояние ещё не указывает направление. Луч задаёт сразу и начало, и направление движения. Остаётся определить, где именно на нём будет второй конец. Если взять прямую, от начальной точки можно двигаться в обе стороны, поэтому получится выбор из двух направлений.

Пусть требуется на луче с началом O отложить длину AB. Циркуль раскрывают так, чтобы расстояние между его ножками было равно AB, затем ставят иглу в O и проводят окружность. Она отмечает все точки, удалённые от O на нужное расстояние. Пересечение этой окружности с лучом и есть конец искомого отрезка: достаточно выбрать точку, которая лежит именно на заданном луче.

Полученный отрезок равен заданному, поскольку расстояние от центра окружности до любой точки на ней равно её радиусу. Радиус здесь выбран равным AB, а построенная точка X лежит на окружности. Значит, OX = AB. Это рассуждение объясняет не только, почему построение работает, но и как проверить его результат.

Чтобы построить равный угол, сначала выбирают на его сторонах точки и отмечают их расстояния от вершины, а также расстояние между выбранными точками. На новом луче задают такое же расстояние от вершины и строят точку на стороне будущего угла; для этого используют перенесённые циркулем длины. Получается треугольник с теми же тремя сторонами, что и у выбранных точек исходного угла. Равные треугольники дают равные углы при вершине, поэтому новый луч образует требуемый угол.

При построении угла обязательно указывают полуплоскость: второй луч можно провести по одну или по другую сторону от начального. Без выбора стороны возможны два симметричных положения равного угла. В выбранной полуплоскости перенос заданных расстояний определяет положение точек, а через вершину и полученную точку проводится второй луч. Поэтому в этой полуплоскости результат единственный.

Откладывание отрезка и угла

Сначала найди в таблице исходные данные: они показывают, что должно быть задано до построения. Затем проверь, где именно строится фигура и какие инструменты нужны. Последний столбец подсказывает, какой результат требуется получить.

Разбор задач

На луче OA отложить от его начала отрезок, равный данному отрезку AB

Нужно получить точку X на луче OA так, чтобы OX = AB. Начальная точка уже задана, поэтому циркулем переносим длину AB именно от точки O. Окружность помогает найти все точки на таком расстоянии, а луч выбирает нужное направление.

1. Разведи циркуль на расстояние между A и B, не меняя его раскрытия.
2. Поставь иглу циркуля в точку O и проведи окружность радиуса AB.
3. Обозначь через X точку пересечения окружности с лучом OA. Тогда отрезок OX — искомый.

Ответ: отрезок OX, где X лежит на луче OA и OX = AB. Перед записью ответа проверь, что точка X находится на луче, а не на его продолжении. Равенство длин следует из того, что OX и AB равны радиусам одной окружности.

В заданной полуплоскости от луча OA построить угол, равный углу BCD

Вершина исходного угла — C, а его стороны проходят через B и D. Для переноса угла нужно сохранить форму треугольника, который образуют эти точки с вершиной: его три стороны задают величину угла. Новый угол строим от луча OA и только в указанной полуплоскости, чтобы выбрать нужное положение.

1. Циркулем отметь на сторонах исходного угла точки B и D и измерь длины CB, CD и BD.
2. На луче OA отложи от O длину, равную CB, и обозначь конец отрезка через P.
3. В заданной полуплоскости проведи окружность с центром O радиуса CD и окружность с центром P радиуса BD. Их пересечение, выбранное в этой полуплоскости, обозначь Q.
4. Проведи луч OQ. Треугольники OPQ и CBD имеют попарно равные стороны, поэтому угол POQ равен углу BCD.

Ответ: искомый угол — угол между лучами OA и OQ. Он расположен в заданной полуплоскости и равен углу BCD. Если по построению получились две точки пересечения окружностей, выбирают ту, которая находится со стороны указанной полуплоскости.

На луче отложить два отрезка, равных данным AB и CD, и сравнить их сумму с заданным отрезком EF

Сначала нужно получить на одном луче длину, равную сумме AB и CD, а затем сравнить её с EF. Удобно откладывать отрезки последовательно: конец первого становится началом второго. Единственность построения гарантирует, что оба переноса длины выполняются точно.

1. Пусть дан луч с началом O. Построй на нём точку X так, чтобы OX = AB, используя окружность с центром O.
2. От точки X по тому же лучу отложи отрезок XY = CD. Для этого проведи окружность с центром X и радиусом CD; её пересечение с лучом за X обозначь Y.
3. Сравни отрезки OY и EF: приложи их длины с помощью циркуля или отложи EF от O на том же луче и сравни конечные точки.

Ответ: OY = AB + CD, поэтому искомое сравнение сводится к сравнению OY и EF. Если конец отрезка EF при откладывании от O совпал с Y, суммы равны; если точки различны, сравни их положение на луче. Такой способ показывает сумму через последовательное построение, а не через измерение на глаз.

Типичные ошибки

Если центр окружности поставить не в начале луча, радиус будет отсчитываться от другой точки. Так ошибаются, когда путают центр построения с концом заданного отрезка. Проверь себя: игла циркуля должна стоять в начале луча, а расстояние от этой точки до пересечения должно совпадать с заданной длиной.

Иногда за конец отрезка принимают любое пересечение окружности и прямой. Но прямая продолжается в обе стороны, а луч содержит только одну из них. Ошибку допускают, забывая проверить направление; убедись, что выбранная точка лежит на луче, а не на противоположном продолжении прямой.

При построении угла можно не заметить указание полуплоскости и провести второй луч с другой стороны. Такой угол может быть равен исходному, но построен не там, где требуется. До работы отметь нужную сторону от начального луча и после построения проверь, что новый луч лежит именно в ней.

Перенос только одного расстояния не всегда определяет положение второго луча: вокруг вершины остаётся много возможных направлений. Причина ошибки — попытка задать угол одним радиусом. Перенеси расстояния от вершины до точек на обеих сторонах и расстояние между точками; затем проверь, что соответствующие треугольники имеют равные стороны.

Связь с другими темами

Для построений нужно знать, что такое луч, отрезок, угол, окружность и полуплоскость, а также уметь пользоваться циркулем и линейкой. Эти понятия помогают понять, откуда отсчитывают длину и в какой области проводят новый луч. Построение отрезков и углов пригодится при построении треугольников: можно задать их стороны и углы. Оно также помогает изучать признаки равенства фигур, потому что точный перенос позволяет сравнивать соответствующие элементы.

Что запомнить

• На данном луче от его начала можно отложить отрезок, равный заданному.
• Такой отрезок на луче единственный.
• Для откладывания отрезка используют окружность с центром в начале луча.
• Угол откладывают от заданного луча в указанной полуплоскости.
• В выбранной полуплоскости угол, равный заданному, единственный.
• Построения выполняют циркулем и линейкой.