"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Угол — фигура из двух лучей с общей начальной точкой. Он помогает описывать повороты, наклон и взаимное расположение линий. Общая точка называется вершиной, лучи — сторонами, а область между ними — внутренней областью угла. Углы обозначают буквами и измеряют в градусах. По градусной мере определяют, является ли угол острым, прямым, тупым или развёрнутым, а специальный луч — биссектриса — делит его пополам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Сторонами угла называют сами лучи, а внутренней областью — часть плоскости между ними. Это определение позволяет отличать фигуру угла от отдельных линий и видеть, какую область нужно измерять или сравнивать.
Общая начальная точка двух лучей называется вершиной угла, а каждый луч — его стороной. Например, у лучей OA и OB общей начальной точкой является O, значит, O — вершина. Такое различие нужно, чтобы правильно называть угол и не принять случайную точку на стороне за его вершину.
Угол обозначают тремя буквами: сначала пишут точку на одной стороне, затем вершину, потом точку на другой стороне, например ∠AOB. Буква вершины обязательно находится в середине записи. Если у одной вершины изображён только один понятный угол, его можно обозначить одной буквой, например ∠O.
Градусная мера угла — число, показывающее величину его раскрытия, а градус — единица измерения углов. Транспортир помогает узнать это число: его центр совмещают с вершиной, а шкала показывает, сколько градусов составляет угол. Чем больше градусная мера, тем шире расходятся стороны угла.
Два луча с общей начальной точкой образуют угол, потому что из одной точки они могут расходиться в разных направлениях. Если лучи совпадают, раскрытия между ними нет, а при изменении направления одной стороны меняется и угол. На рисунке сторонами будут две линии-лучи, а не вся область, расположенная между ними.
Три буквы нужны для точного выбора угла: первая и третья указывают направления его сторон, а средняя — общую вершину. Если поставить вершину не в середину, запись перестанет соответствовать принятому обозначению и может указать на другую фигуру. Поэтому в записи ∠ABC вершиной является только B, а стороны лежат на лучах BA и BC.
Сравнивают углы по величине их раскрытия, а не по длине сторон. Угол с более широко раздвинутыми сторонами имеет большую градусную меру, даже если его стороны на рисунке короче. Например, 120° больше 60°, потому что первый угол раскрыт сильнее.
Чтобы измерить угол транспортиром, сначала совмещают его центр с вершиной угла. Затем одну сторону располагают вдоль линии 0° и выбирают шкалу, которая начинает отсчёт именно от этой нулевой отметки. На второй стороне считывают число градусов; другая шкала в той же точке даст дополнительное до 180° значение и потому может привести к ошибке.
По мере углы делят на виды: острый меньше 90°, прямой равен 90°, тупой находится между 90° и 180°, а развёрнутый равен 180°. На рисунке это означает соответственно узкое раскрытие, угол как у буквы «Г», широкое раскрытие и две противоположные стороны на одной прямой. Луч, который делит угол на две равные части, называется биссектрисой: если ∠ABC = 74°, то каждая часть равна 37°.
| Вид угла | Условие на градусную меру | Как распознать на рисунке |
|---|---|---|
| Острый угол | Меньше 90° | Раскрытие уже прямого |
| Прямой угол | Равен 90° | Стороны перпендикулярны |
| Тупой угол | Больше 90°, но меньше 180° | Раскрытие шире прямого |
| Развёрнутый угол | Равен 180° | Стороны лежат на одной прямой и направлены в разные стороны |
Сначала найдите в условии или измерьте градусную меру угла, затем сравните её с 90° и 180°. Если рисунок выполнен неточно, доверяйте измерению и условию, а не только внешнему виду. Таблица помогает быстро назвать вид угла.
Задача 1. На рисунке изображены лучи OA и OB. Нужно записать угол всеми допустимыми обозначениями и назвать его вершину и стороны.
Ответ: вершина — O, стороны — OA и OB; обозначения: ∠AOB, ∠BOA, а при однозначности рисунка ещё ∠O.
Задача 2. Измерить ∠ABC и определить его вид, если градусная мера равна 125°.
Ответ: ∠ABC = 125°, это тупой угол.
Задача 3. Луч BD — биссектриса ∠ABC, а ∠ABC = 74°. Биссектриса делит угол на равные части, поэтому обозначим каждую часть одной и той же величиной x. Тогда x + x = 74°, откуда 2x = 74° и x = 37°. Следовательно, ∠ABD = 37° и ∠DBC = 37°.
Вершиной называют любую точку на стороне угла. Так происходит, когда ученик путает линию луча с общей начальной точкой двух лучей. Проверьте, откуда начинаются обе стороны: только эта общая точка является вершиной.
В обозначении из трёх букв вершину ставят первой или последней. Ошибка возникает из-за невнимательности к порядку букв. Перечитайте запись и убедитесь, что средняя буква совпадает с общей начальной точкой сторон.
При измерении выбирают не ту шкалу транспортира. Обычно забывают, у какой шкалы нулевая отметка совпала со стороной угла. Перед считыванием найдите именно этот ноль и проверьте, что результат не противоречит виду угла.
Любой угол с двумя лучами называют прямым или путают тупой с развёрнутым. Причина в том, что вид пытаются определить по наличию двух сторон, не сравнивая меру. Сопоставьте число с 90° и 180°: прямой равен 90°, тупой меньше 180°, а развёрнутый равен 180°.
До изучения углов нужно знать, что такое точка, луч, прямая и отрезок, а также уметь пользоваться транспортиром. Эти понятия помогают правильно распознать стороны фигуры и выполнить измерение. Без них трудно понять, где находится вершина и откуда начинается отсчёт градусов.
Дальше углы понадобятся при изучении смежных и вертикальных углов, треугольников и биссектрис. Их свойства используются в рассуждениях и доказательствах геометрических теорем. Умение обозначать и измерять углы станет основой для решения более сложных задач.
Почему угол обозначают тремя буквами, а иногда только одной?
Три буквы нужны, чтобы указать две стороны и вершину угла: буква вершины всегда стоит в середине. Одной буквой обозначают угол, если на рассматриваемом рисунке у этой вершины только один очевидный угол.
Как понять, какую шкалу транспортира использовать?
Нужно выбрать шкалу, у которой отсчёт 0° совпадает со стороной угла, совмещённой с основанием транспортира. Если начать отсчёт с другой шкалы, получится не та величина.
Может ли угол быть больше 180° в рамках изучаемого материала?
В рамках этого материала рассматривают углы от 0° до 180°, включая развёрнутый угол. Углы больше 180° относятся к более сложным случаям и здесь не изучаются.
Чем отличается сторона угла от его внутренней области?
Сторона угла — один из двух лучей, образующих фигуру. Внутренняя область — часть плоскости между этими лучами, то есть пространство, которое они ограничивают при своём раскрытии.
Как доказать, что луч является биссектрисой угла?
Нужно показать, что луч выходит из вершины угла и делит его на два угла с равными градусными мерами. Например, если ∠ABD = ∠DBC, то луч BD является биссектрисой ∠ABC.
3. Угол
