2. Луч и полуплоскость

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, состоящая из точки, называемой началом луча, и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от неё. Луч с началом A, проходящий через B, обозначают AB с направленной чертой над буквами: A — начало, B указывает направление. Такое обозначение помогает понять, какую часть прямой рассматривают.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. Она входит в луч и отличается от остальных его точек тем, что луч начинается именно в ней. Это различие нужно, чтобы правильно определять направление и не принимать другую точку за начало.

Полуплоскость — одна из двух частей плоскости, на которые её делит прямая. Граничная прямая полуплоскости — эта разделяющая прямая; в принятом определении она не входит ни в одну из полуплоскостей. Поэтому принадлежность точки полуплоскости определяют по тому, по какую сторону границы она находится.

Как это устроено

Чтобы получить луч, сначала выбирают точку на прямой, а затем одно из двух направлений от неё. Начало обязательно включают: без него нельзя было бы указать, откуда начинается рассматриваемая часть прямой. В выбранном направлении луч продолжается неограниченно, поэтому второй конечной точки у него нет.

Пусть на одной прямой отмечены начало A и точки B и C по одну сторону от A. Если направление луча задано от A через B, то B и C принадлежат лучу: обе точки лежат в нужном направлении. Точки на противоположной стороне от A не входят в этот луч, потому что для них нужно двигаться от начала в обратную сторону. Так проверяют принадлежность, не ориентируясь на то, как чертёж повернут на странице.

Прямая разбивает плоскость на две области, расположенные по разные стороны от неё. Если точку можно переместить к другой, не пересекая эту прямую, они находятся в одной полуплоскости; чтобы перейти с одной стороны на другую, прямую пришлось бы пересечь. Поэтому точки по разные стороны принадлежат разным полуплоскостям. Сама прямая служит границей и в данном определении не относится ни к одной из них.

Чтобы определить, находятся ли две точки в одной полуплоскости, сначала находят граничную прямую, а затем проверяют положение каждой точки относительно неё. Если обе точки расположены с одной стороны, они принадлежат одной полуплоскости; если с разных — разным. Точки на самой прямой не следует относить к любой из этих полуплоскостей: они лежат на границе.

На чертеже начало луча отмечают точкой, а направление показывают продолжением линии от неё; при обозначении первой пишут букву начала. Полуплоскость изображают относительно проведённой прямой: важно ясно указать, какая из двух сторон имеется в виду, например отметить на ней точку. Одна лишь близость точки к нужной стороне рисунка не заменяет проверки относительно прямой. Если чертёж условный или повернут, решает именно взаимное расположение объектов.

Сравнение луча и полуплоскости

Таблица помогает не смешивать объекты: луч лежит на прямой, а полуплоскость занимает часть плоскости. При проверке принадлежности сначала найдите, чем задан объект, затем учтите его начало или границу. Особенно внимательно различайте включённое начало луча и не включённую в полуплоскость граничную прямую.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки A, B и C в порядке A, B, C. Указать, какие из точек принадлежат лучу AB. Здесь буква A обозначает начало, а B задаёт направление луча. Нужно проверить, какие отмеченные точки лежат от A в этом направлении.

1. Начало луча AB — точка A, поэтому A принадлежит лучу.
2. Точка B задаёт направление и также принадлежит лучу.
3. Точка C расположена за B в том же направлении от A, значит, она тоже принадлежит лучу.

Ответ: точкам A, B и C принадлежат лучу AB.

Задача 2

Прямая разделила плоскость на две полуплоскости. Точки P и Q лежат по одну сторону от прямой, а точка R — по другую. Определить, какие точки принадлежат одной полуплоскости. Сравним их положение с одной и той же граничной прямой, не включая саму прямую в полуплоскости.

1. P и Q находятся по одну сторону от прямой, поэтому принадлежат одной полуплоскости.
2. R находится по другую сторону, следовательно, принадлежит второй полуплоскости.
3. Значит, R не принадлежит полуплоскости, в которой находятся P и Q.

Ответ: P и Q принадлежат одной полуплоскости; R — другой.

Задача 3

Через точку A проведена прямая. На ней отмечены B и C по разные стороны от A; вне прямой расположены P и Q по одну сторону от неё. Описать лучи с началом A и полуплоскости, содержащие P и Q, и указать принадлежность точек. Здесь надо отдельно проверить нахождение точек на прямой и их положение относительно неё.

1. Луч AB начинается в A и проходит через B. Из отмеченных точек A и B ему принадлежат, а C лежит по другую сторону от A и не принадлежит.
2. Луч AC начинается в A и проходит через C. Ему принадлежат A и C, но не B, так как B расположен в противоположном направлении.
3. P и Q лежат по одну сторону от прямой, поэтому принадлежат одной полуплоскости. Ни A, ни B, ни C в неё не входят: все они лежат на граничной прямой.
4. Полуплоскость с другой стороны не содержит P и Q. Чтобы определить принадлежность любой другой точки, нужно сравнить её положение с этой же прямой.

Ответ: A и B принадлежат лучу AB, A и C — лучу AC; P и Q принадлежат одной полуплоскости. Точки A, B и C лежат на границе и не принадлежат полуплоскостям.

Типичные ошибки

Не включать начало в луч. Так ошибаются, если воспринимают луч как линию, начинающуюся «сразу после» точки. По определению начало входит в луч. Проверьте себя: назовите начальную точку и включите её в список принадлежащих лучу.

Путать луч с отрезком. Иногда кажется, что луч заканчивается в точке, через которую его обозначили. Но эта точка задаёт направление, а не вторую границу. Проверьте, есть ли у объекта только начало: если он продолжается в одном направлении без конца, это луч.

Забывать о граничной прямой. Можно решить, что полуплоскость включает всё, что находится с одной стороны, и не уточнить, что происходит на границе. В принятом определении граница не входит ни в одну полуплоскость. Проверьте себя: точка лежит строго по одну сторону от прямой или на самой прямой?

Судить по месту на странице. На неудачном или повернутом чертеже расположение может казаться обманчивым. Принадлежность определяют не по верхней или нижней части листа, а относительно граничной прямой. Проведите мысленно линию и выясните, с какой её стороны находится точка.

Связь с другими темами

Для изучения луча и полуплоскости нужны понятия точки, прямой и плоскости, а также умение определять, лежит ли точка на прямой. Лучи с общим началом используют при изучении углов: они являются сторонами угла. Полуплоскости помогают описывать положение фигур относительно прямой и разбирать чертежи планиметрии. Поэтому важно верно определять направление луча и сторону прямой.

Что запомнить

• Луч состоит из начала и всех точек прямой в одном направлении от него.
• Начало луча принадлежит лучу.
• У луча нет второй конечной точки.
• Прямая делит плоскость на две полуплоскости.
• Точки по разные стороны граничной прямой принадлежат разным полуплоскостям.
• На чертеже важно явно показывать начало луча и граничную прямую полуплоскости.