1. Точная, прямая, отрезок.

Определения и обозначения

Точка — основной геометрический объект; её обозначают заглавной латинской буквой, например A. На чертеже точку показывают маленьким следом карандаша, а букву ставят рядом, чтобы было ясно, о какой точке идёт речь. Обозначение помогает не путать несколько точек и точно описывать их расположение. Например, фраза «точка A» указывает на конкретный объект, а не просто на любое место на рисунке.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца; её обозначают строчной латинской буквой или двумя заглавными буквами точек на ней, например a или AB. Нарисованный штрих приходится делать конечным, но он изображает только часть прямой, которая мысленно продолжается за оба края. Если прямая проходит через точки A и B, её можно назвать AB; отдельная строчная буква удобна, когда на чертеже несколько прямых. Так обозначение позволяет обсуждать нужную линию, не указывая на неё пальцем.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Обозначают отрезок буквами его концов, например AB, причём буквы можно записать и в обратном порядке. Между концами отрезка лежат другие его точки, если они отмечены на чертеже. Такое обозначение показывает, какую именно часть прямой мы рассматриваем, и помогает отличить её от всей прямой.

Как это устроено

Точку изображают небольшим штрихом или точкой, потому что её задача — отметить положение, а не показать размер. Рядом пишут заглавную латинскую букву, например A, чтобы можно было назвать эту точку в объяснении или задаче. Буква не является частью геометрического объекта: это условное имя, которое помогает отличать его от других объектов. Если на рисунке есть точки A и B, по их названиям легче точно сообщить, какие из них соединены или где они расположены.

Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая. Представь, что линейка должна пройти через два заданных места: её направление уже определено этими точками, поэтому получить другую прямую через них не удастся. Прямую называют по точкам на ней, например AB, или обозначают строчной буквой a. Условие «различные точки» существенно: одна точка сама по себе не задаёт единственное направление прямой.

Если точки принадлежат одной прямой, говорят, что они лежат на одной прямой. Это выражение описывает расположение точек: их можно отметить на одной непрерывной линии, а не на разных линиях. На чертеже обычно видна лишь часть прямой, потому что лист бумаги конечен. Однако саму прямую считают продолжающейся без конца в обе стороны, даже если её концы не помещаются на рисунке.

Чтобы выделить на прямой отрезок, выбирают две точки и считают их концами. Между ними находятся точки, которые тоже принадлежат этому отрезку; точки за концами уже относятся к продолжению прямой, а не к выбранному отрезку. Поэтому одного указания прямой недостаточно: надо назвать две граничные точки, например A и B. Так из бесконечной линии получают ограниченную часть, которую удобно изучать отдельно.

Прямая и отрезок различаются тем, что у них разная протяжённость. Прямая бесконечна в обе стороны и не имеет концов, тогда как отрезок ограничен двумя точками. На бумаге их изображения могут быть похожими, поэтому нужно смотреть на смысл обозначения и чертежа: стрелки на концах обычно показывают продолжение прямой, а две отмеченные граничные точки — концы отрезка. Это различие важно, чтобы не приписывать конечной части свойства всей линии.

Точка, прямая и отрезок

Сначала найди в таблице название нужного объекта, а затем проверь его обозначение и признак. Если линия продолжается за отмеченные точки, речь идёт о прямой; если она ограничена двумя концами — об отрезке. Сравнивая строки, легко заметить, что один и тот же рисунок может показывать разные объекты в зависимости от того, что именно обозначено.

Разбор задач

Задача 1. Отметьте точки A и B и проведите прямую через них. Обозначьте полученную прямую двумя способами. Нужно использовать правило о двух различных точках и выбрать обозначение, которое относится ко всей линии, а не только к её части.

1. Отметим на чертеже две различные точки и подпишем их заглавными буквами A и B.
2. Проведём через них линию, продолжив её мысленно в обе стороны: через две различные точки проходит ровно одна прямая.
3. Назовём прямую по точкам на ней AB. Второй допустимый способ — присвоить ей строчную букву, например a.

Ответ: прямая AB, или прямая a. Буква a служит отдельным именем линии, а обозначение AB показывает две точки, через которые она проходит.

Задача 2. На прямой a отмечены точки A, B и C. Назовите отрезки, концами которых являются пары этих точек. Отрезок задаётся парой концов, поэтому важно перебрать все пары, не пропустив ни одну и не записывая одну пару дважды в разном порядке.

1. Начнём с точки A: в пару с ней можно поставить B или C, получаем AB и AC.
2. Теперь возьмём точку B и ещё не использованную с ней точку C: получаем BC.
3. Других пар нет: перестановка букв не создаёт нового отрезка, поскольку AB и BA имеют те же концы.

Ответ: отрезки AB, AC и BC. То, что все три точки лежат на прямой a, не меняет правила обозначения отрезков.

Задача 3. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Назовите отрезки и укажите, какие из них являются частями отрезка AC. Здесь нужно учитывать порядок точек: B делит отрезок от A до C на две меньшие части.

1. Составим пары из трёх точек: получатся отрезки AB, AC и BC.
2. Отрезок AC проходит от A до C, а точка B расположена внутри него.
3. Части отрезка AC по точке B — это AB и BC. Сам AC является целым отрезком, а не одной из двух его частей.

Ответ: отрезки AB, AC и BC; частями отрезка AC являются AB и BC. Положение точки B между A и C позволяет сделать этот вывод.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что прямая имеет начало и конец. Так думают, потому что на листе виден только конечный штрих, но он изображает лишь часть бесконечной линии. Проверь себя: если объект ограничен двумя концами, это отрезок, а не прямая. Прямую мысленно продолжают в обе стороны.

Не путай прямую AB и отрезок AB: одинаковые буквы обозначают точки, но сами объекты различаются. Путаница возникает, когда ученик ориентируется только на буквы и не учитывает, что именно проведено на чертеже. Проверь, есть ли у линии два выделенных конца или она продолжается в обе стороны. Обозначение нужно читать вместе с названием объекта.

Ошибка — обозначать отрезок одной буквой. Иногда одну букву принимают за название линии, потому что прямые действительно могут обозначаться строчными буквами. Чтобы проверить себя, спроси, какие именно две точки ограничивают отрезок: в его обозначении должны быть указаны оба конца, например AB. Одна буква не сообщает, где отрезок начинается и заканчивается.

Неверно считать, что через две точки можно провести несколько разных прямых. Кажется, что линию можно наклонить по-разному, но при этом она перестанет проходить через обе заданные точки. Проверь, соединяет ли проведённая линия именно эти две точки: подходящее направление только одно. Через две различные точки проходит ровно одна прямая.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно уметь различать чертёж и изображённые на нём объекты. Линия на бумаге — условное изображение: она может показывать прямую, хотя нарисованный штрих имеет конечную длину. Также нужно знать, что точки обозначают заглавными латинскими буквами. Эти навыки помогают правильно читать геометрические записи и описывать рисунки.

Точка, прямая и отрезок станут основой для изучения луча и угла. Отрезки понадобятся при измерении расстояний и построении геометрических фигур, а прямые помогут описывать положение их сторон и точек. Различение бесконечной линии и её ограниченной части важно и в задачах, где нужно определить, что именно изображено или построено.

Что запомнить

• Точки обозначают заглавными латинскими буквами.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямую можно обозначить строчной буквой или двумя точками на ней.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Отрезок обозначают буквами его концов.