1. Простейшие геометрические фигуры.

Определения и обозначения

Точка — простейшая геометрическая фигура, не имеющая частей. Её обозначают заглавной латинской буквой, например A или O. На чертеже точку обычно показывают маленькой отметкой, рядом с которой пишут букву. Такое обозначение позволяет точно указать, о каком месте на рисунке идёт речь.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. Её обозначают двумя заглавными буквами, соответствующими точкам, лежащим на прямой: например, прямая AB. Буквы можно поменять местами: прямая AB и прямая BA — одна и та же прямая. Такое название помогает отличить одну прямую от другой на чертеже.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают буквами его концов: AB или BA. На рисунке отрезок можно проследить от одного конца до другого. Это обозначение нужно, чтобы не перепутать ограниченную часть прямой со всей прямой.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла AOB вершина O, а стороны — лучи OA и OB. Такое описание помогает разбирать угол на части и правильно называть его по рисунку.

Как это устроено

Геометрические фигуры изучают как множества точек, то есть как наборы точек, расположенных определённым образом. Например, отрезок состоит из точек прямой, лежащих между его концами, вместе с самими концами. Точка и прямая считаются исходными понятиями: их не определяют через более простые фигуры, а используют для построения и описания других. Благодаря этому можно последовательно объяснить, из каких частей состоят фигуры и как они связаны.

Две различные точки задают положение прямой: чтобы пройти через обе, линия должна иметь одно определённое направление и место. Через эти точки нельзя провести другую прямую, не совпадающую с первой, потому что тогда две прямые имели бы сразу две общие точки. Поэтому говорят, что через любые две различные точки можно провести ровно одну прямую. Это правило позволяет называть прямую по двум точкам и проверять, лежит ли точка на ней.

Чтобы выделить отрезок, на прямой выбирают две точки и рассматривают часть между ними. Сами выбранные точки входят в отрезок и становятся его концами. Если концы те же самые, то и отрезок тот же, даже если при названии буквы переставили местами. Значит, положение концов определяет отрезок, а не то, в каком порядке мы его описали.

Луч получают так: выбирают на прямой точку и оставляют часть прямой, которая от неё идёт в одном направлении. Выбранная точка становится началом луча, а продолжение в другую сторону не ограничено. Если провести из одной точки два луча, они образуют угол; точка, откуда оба луча выходят, будет его вершиной. Так луч связывает понятия точки и прямой с понятием угла.

Угол называют тремя буквами, например AOB, чтобы указать обе стороны и вершину. Букву вершины ставят в середину, поэтому в записи AOB вершина — O, а стороны — OA и OB. Иногда угол можно обозначить одной буквой вершины, если у неё на рисунке не возникает путаницы между несколькими углами. Если углов при той же вершине несколько, трёхбуквенное обозначение помогает понять, какой именно из них имеется в виду.

Простейшие геометрические фигуры и их обозначения

При работе с таблицей сначала найди, как устроена фигура, а затем сопоставь её с обозначением. Особенно внимательно проверяй, есть ли у фигуры начало или концы: это отличает прямую, луч и отрезок. Для угла дополнительно определяй общую точку лучей — вершину.

Разбор задач

Задача 1

На прямой отмечены точки A и B. Запишите обозначение прямой и отрезка с концами A и B. Нужно назвать две фигуры, которые используют одни и те же точки, но различаются по устройству. Поэтому сначала выясним, рассматриваем ли мы всю прямую или лишь часть между отметками.

1. Прямая проходит через точки A и B и продолжается за них в обе стороны.
2. Её обозначают двумя точками на ней: AB.
3. Отрезок с концами A и B ограничен этими точками, поэтому его обозначают AB или BA.

Ответ: прямая AB; отрезок AB (или BA). Одинаковые буквы не означают, что фигуры одинаковы: их различают по смыслу — прямая бесконечна, а отрезок ограничен концами.

Задача 2

Из точки O проведены лучи OA и OB. Назовите вершину и стороны угла AOB. Для этого нужно найти общую точку лучей, а затем отделить её от точек, указывающих направления сторон. Буква, стоящая посередине в названии угла, подсказывает ответ.

1. Оба луча начинаются в точке O, значит, она является общей точкой и вершиной угла.
2. Луч OA и луч OB выходят из вершины в разных направлениях и образуют стороны.
3. Проверяем название AOB: буква O стоит посередине, поэтому обозначение согласуется с рисунком.

Ответ: вершина угла — O, стороны — лучи OA и OB. При чтении названия AOB средняя буква указывает вершину, а крайние — точки на сторонах угла.

Задача 3

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Перечислите отрезки, образованные этими точками, и укажите лучи с началом в B. Сначала нужно учесть все пары точек, а потом определить, в какие стороны от B продолжаются лучи. Положение B между A и C подсказывает, что A и C находятся по разные стороны от неё.

1. Каждая пара точек задаёт отрезок: AB, BC и AC.
2. Отрезок AC включает в себя B, потому что B находится между A и C.
3. Из B в сторону A идёт луч BA, а из B в сторону C — луч BC.

Ответ: отрезки AB, BC, AC; лучи с началом в B — BA и BC. Отрезки называют парами концов, а лучи — началом и точкой, задающей направление.

Типичные ошибки

Ошибочно считать прямую ограниченной, как отрезок. Так происходит, когда на чертеже смотрят только на видимую часть линии и принимают край листа за конец фигуры. Проверь себя: мысленно продолжи прямую за отмеченные точки в обе стороны — у неё нет концов.

Луч иногда путают с отрезком, потому что у обоих есть точка, от которой удобно начинать отсчёт. Но у отрезка два конца, а луч продолжается бесконечно в одном направлении. Чтобы проверить ответ, найди вторую ограничивающую точку: если она есть, это отрезок, если нет — луч.

Порядок букв в обозначении отрезка не меняет его: AB и BA обозначают одну и ту же часть прямой. Путаница возникает из-за того, что буквы читаются в определённом порядке, как название пути. Сверь концы: если это те же точки A и B, отрезок совпадает, как бы ни были расположены буквы.

В обозначении угла вершину иногда ставят не на второе место. Например, в AOB вершина — O, а не A или B, потому что средняя буква указывает на общую точку сторон. Если сомневаешься, найди два луча, образующих угол, и проверь, из какой точки они выходят.

Связь с другими темами

Для изучения простейших фигур достаточно знать латинские буквы и уметь отмечать точки на рисунке. Понятия отрезка и угла понадобятся, когда начнут измерять длины и величины углов, а также изучать треугольники и другие многоугольники. Прямая и луч помогут описывать взаимное расположение прямых и выполнять геометрические построения. Поэтому умение различать эти фигуры станет основой для дальнейших тем.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• У отрезка два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.