"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Отрезки и углы сравнивают, чтобы понять, равны ли они и какой из них больше. Отрезки можно наложить друг на друга или сравнить их длины, предварительно приведя измерения к одной единице. Углы сравнивают наложением: совмещают вершины и по одной стороне, а затем смотрят, где оказалась другая сторона. Совпадение при наложении означает равенство, а положение несовмещённых концов или сторон помогает определить больший объект.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сравнение отрезков — это установление того, равны ли отрезки и какой из них больше. Для этого отрезки можно наложить друг на друга или сравнить их длины, выраженные в одинаковых единицах. Такое сравнение помогает работать с геометрическими фигурами, даже если отрезки расположены по-разному. По внешнему виду чертежа вывод делать нельзя: он не обязательно выполнен в масштабе.
Равные отрезки — это отрезки, которые при наложении полностью совмещаются. Значит, совпадают не только их начала, но и концы. Если отрезки равны, их длины одинаковы, где бы они ни находились на плоскости. Это определение нужно, чтобы отличать реальное равенство от сходства отрезков на рисунке.
Сравнение углов выполняют наложением: сначала совмещают вершины и по одной стороне каждого угла, а затем рассматривают положение других сторон. Вершина — общая точка, из которой выходят стороны угла. Такое расположение позволяет увидеть, насколько один угол раскрыт по сравнению с другим. Оно также помогает не зависеть от того, как углы повернуты на чертеже.
Равные углы — это углы, которые при наложении совмещаются: совпадают их вершины и обе пары сторон. Если совпала одна сторона, а вторая тоже легла на соответствующую сторону, углы равны. Длины сторон при этом могут быть разными. Определение нужно, чтобы сравнивать именно раскрытие углов, а не размер отдельных отрезков, из которых они изображены.
Чтобы сравнить два отрезка наложением, достаточно совместить их начала и направить их вдоль одной прямой. Начало задаёт общую точку отсчёта, поэтому отрезки удобно сравнивать в одном направлении. После этого становятся видны положения концов: совпали они или один расположен дальше. Такое действие переносит отрезки в общее положение и убирает влияние их расположения на рисунке.
Если после совмещения начал концы тоже совпали, отрезки равны. Если конец одного отрезка оказался дальше от общего начала, этот отрезок больше: он занимает более длинную часть той же прямой. Конец более короткого отрезка при этом лежит между общим началом и дальним концом. Поэтому сравнение сводится к одному наглядному признаку — тому, какой конец дальше.
При сравнении углов совмещают вершины и одну сторону, потому что положение угла на листе само по себе ничего не говорит о его величине. Одинаковое направление одной стороны создаёт общую границу для сравнения. Вершины должны находиться в одной точке, иначе раскрытие углов нельзя наглядно сопоставить. Когда эти условия выполнены, положение вторых сторон показывает, какой угол раскрыт шире.
Если после наложения одна несовмещённая сторона оказалась внутри другого угла, этот угол меньше. Сторона большего угла располагается вне меньшего и ограничивает более широкое раскрытие. Если несовмещённые стороны совпали, совпали и углы, то есть они равны. Поэтому важно смотреть не на длину сторон, а на их направление и положение после наложения.
Геометрическое сравнение связано с измерением. Длину отрезка выражают числом выбранных единиц, например сантиметров или миллиметров, а величину угла — числом градусов. Чтобы сравнить числовые значения длин, их записывают в одной единице: например, 5 см = 50 мм. Измерение удобно, когда наложить объекты нельзя или требуется получить точный числовой ответ.
| Что сравниваем | Как выполняют сравнение | Когда объекты равны | Как определить больший объект |
|---|---|---|---|
| Отрезки | Накладывают друг на друга или сравнивают длины в одинаковых единицах. | При наложении совпадают начала и концы. | При совмещённых началах дальше расположенный конец принадлежит большему отрезку. |
| Углы | Совмещают вершины и по одной стороне, затем сравнивают другие стороны. | При наложении совпадают вершины и обе пары сторон. | Больше тот угол, чья несовмещённая сторона расположена вне другого угла. |
Сначала выбери в таблице нужный объект, затем проверь, правильно ли выполнено наложение. Для отрезков сравнивают положение концов, а для углов — положение сторон после совмещения вершин и одной стороны. Если сравниваешь измерения, сначала приведи их к одинаковым единицам.
Задача 1. Даны отрезки AB = 5 см и CD = 48 мм. Определите, какой отрезок больше. Сравнить числа 5 и 48 напрямую нельзя: они выражают длины в разных единицах. Сначала нужно перевести одну из длин так, чтобы обе величины были записаны одинаково.
Ответ: AB больше CD. Мы не сравнивали сами числа с разными единицами, а сначала выразили обе длины в миллиметрах. Это правило работает и при других единицах: перед сравнением их нужно привести к одной.
Задача 2. При наложении двух отрезков их начала совмещены, а конец одного оказался дальше. Какой отрезок больше? Здесь не требуется знать числовые длины: наложение уже показывает отрезки в одинаковом положении. Остаётся определить, какой конец дальше от общей начальной точки.
Ответ: больше тот отрезок, конец которого оказался дальше. Если бы концы совпали, отрезки были бы равны. Такое рассуждение годится только при совмещённых началах и расположении отрезков вдоль одной прямой.
Задача 3. Даны углы ∠AOB и ∠COD. При наложении совместили вершины и по одной стороне; другая сторона ∠COD оказалась внутри ∠AOB. Сравните углы. Углы уже наложены правильно, поэтому можно судить по расположению несовмещённых сторон. Сторона внутри другого угла означает, что соответствующий угол раскрыт не так широко.
Ответ: ∠AOB > ∠COD. Сравнение основано на раскрытии углов, а не на длинах их сторон. Если бы другие стороны после наложения совпали, углы были бы равны.
Сравнивать отрезки по их положению на рисунке — ненадёжно: изображение может быть выполнено не в масштабе, а отрезки могут быть просто повёрнуты или сдвинуты. Эту ошибку допускают, когда принимают рисунок за точное измерение. Проверь себя: совмести отрезки или сравни их длины линейкой. Не делай вывод только потому, что один отрезок на листе кажется длиннее.
Сравнение чисел, записанных в разных единицах, может привести к неверному ответу: 5 и 48 сами по себе не показывают, какая длина больше, если одно число дано в сантиметрах, а другое — в миллиметрах. Ошибка возникает, когда забывают о размере единиц. Перед сравнением переведи обе длины, например, в миллиметры. Затем проверь, что единицы записи действительно совпадают.
Если при наложении углов не совместить вершины и одну сторону, положение оставшихся сторон не даст надёжного сравнения. Можно перепутать поворот угла с изменением его величины. Проверь, что вершины лежат в одной точке, одна сторона общая, а углы расположены по одну сторону от неё. Только после этого сравнивай другие стороны.
Длинные стороны не означают, что угол больше: величина угла определяется раскрытием между сторонами, а не их длиной. Такая ошибка появляется, когда угол воспринимают как фигуру с «длинными» или «короткими» границами. Для проверки представь, что стороны продолжаются дальше: раскрытие угла останется прежним. Сравнивай углы наложением, а не по длине изображённых сторон.
Чтобы сравнивать отрезки и углы, нужно знать, что такое отрезок, луч, угол и вершина угла. Отрезок имеет два конца, а луч начинается в одной точке и продолжается в одном направлении. Стороны угла — это лучи с общей начальной точкой, которая называется вершиной. Эти понятия помогают правильно выполнить наложение.
Сравнение отрезков связано с измерением их длины и переводом единиц. Линейка позволяет выразить длину числом, но единицы должны быть одинаковыми, если нужно сравнить два результата. Величины углов измеряют в градусах. Поэтому измерение дополняет сравнение наложением числовой проверкой.
Равенство и сравнение понадобятся при изучении фигур, треугольников и построений циркулем и линейкой. Например, при построении нужно переносить отрезки и углы, а затем проверять, совпадают ли они с заданными. Сравнение помогает обосновать, что именно получилось. Это основа для дальнейшей работы с геометрическими фигурами.
Как понять, равны ли два отрезка?
Совмести отрезки при наложении: если их концы совпали, отрезки равны. Также можно измерить оба отрезка в одинаковых единицах и сравнить длины.
Можно ли сравнивать отрезки, если они изображены в разных местах рисунка?
Да. Перенеси один отрезок наложением так, чтобы его начало совпало с началом другого. Расположение отрезков на рисунке не мешает сравнению, а сам рисунок может быть выполнен не в масштабе.
Как правильно наложить один угол на другой?
Совмести вершины углов, а затем одну сторону первого угла направь вдоль одной стороны второго. Углы должны лежать по одну сторону от общей стороны; после этого сравни положение оставшихся сторон.
Почему длина сторон не определяет величину угла?
Величина угла зависит от того, насколько раскрыты его стороны, а не от их длины. Поэтому длинные стороны могут образовывать маленький угол, а короткие — большой.
Что делать, если длины отрезков записаны в разных единицах?
Переведи обе длины в одну единицу, например в миллиметры или сантиметры. Затем сравни полученные числа: только так можно определить, какая длина больше.
2. Сравнения отрезков и углов.
