4. Угол

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Например, если лучи OA и OB выходят из точки O, они образуют угол. Это определение помогает увидеть, из каких частей складывается угол.

Вершина угла — общее начало его сторон. На чертеже её обозначают заглавной буквой, например O. Такая буква помогает указать точку, из которой выходят стороны, и правильно прочитать обозначение угла.

Стороны угла — лучи, образующие угол. Их обозначают по точкам на лучах: лучи, начинающиеся в O и проходящие через A и B, — это OA и OB. Угол называют по сторонам, например углом между лучами OA и OB. Буквы на сторонах позволяют отличить нужный угол от других.

Угол обозначают тремя буквами, причём букву вершины ставят посередине: ∠AOB. Крайние буквы указывают на стороны, а средняя — на их общее начало. Если у вершины изображён только один угол, допустима краткая запись ∠O. Три буквы нужны, когда одной буквой можно обозначить несколько углов.

Как это устроено

Чтобы построить угол, сначала отметь точку, а затем проведи из неё два луча. Точка, откуда начинаются оба луча, и будет вершиной; лучи станут сторонами. Например, если лучи выходят из O и проходят через A и B, угол имеет вершину O и стороны OA и OB. Такой порядок действий не даёт перепутать вершину с точками, лежащими дальше на сторонах.

В обозначении ∠AOB буква вершины стоит посередине, потому что стороны угла начинаются именно в ней. Крайние буквы называют точки на каждой стороне, а средняя связывает их с общим началом. Если поставить O с краю, запись перестанет прямо показывать, какая из букв обозначает вершину. Поэтому при чтении трёхбуквенного обозначения сначала находят среднюю букву.

У нескольких углов может быть одна вершина, поэтому одной буквы для них недостаточно. Если из O выходят лучи OA, OB и OC, соседние углы могут иметь общую точку O, но разные стороны. Запись ∠AOB указывает на лучи OA и OB, а ∠BOC — на OB и OC. Сверяй крайние буквы с лучами на чертеже: так ты убедишься, что выбрал именно нужный угол.

Развёрнутый угол образуют противоположные лучи. У них общая вершина, но они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны, поэтому вместе продолжают прямую через вершину. Например, если точки A, O и C лежат на одной прямой, а лучи OA и OC направлены в разные стороны, ∠AOC — развёрнутый. Одного общего начала недостаточно: лучи, уходящие в разные направления, но не лежащие на одной прямой, развёрнутого угла не образуют.

На чертеже угол часто выделяют дугой между его сторонами. Дуга помогает понять, какую область между лучами рассматривают, особенно если из вершины выходят ещё лучи. После этого выбирают обозначение, которое указывает именно на нужные стороны и не совпадает с обозначением соседнего угла. Если у вершины только один угол, можно записать его одной буквой; если несколько — используй три.

Элементы угла и их обозначения

Сначала определи точку, где начинаются стороны, а затем найди обозначения этих сторон. Для нескольких углов с общей вершиной обязательно сверяй крайние буквы с чертежом. Краткую запись одной буквой выбирай только тогда, когда у вершины нет других углов.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить угол с вершиной O и сторонами OA и OB. Назвать его всеми допустимыми способами.

1. Отметим точку O — общее начало будущих сторон.
2. Проведём из O два луча: один через A, другой через B. Получим угол с вершиной O и сторонами OA и OB.
3. Для трёхбуквенного обозначения поставим вершину O в середину, а названия сторон — по краям. Получим ∠AOB или ∠BOA.
4. Если у O на чертеже нет других углов, можно использовать и краткую запись ∠O.

Ответ: ∠AOB, ∠BOA; если обозначение не будет неоднозначным — ∠O.

Задача 2. Из точки O выходят лучи OA, OB и OC. Назвать угол между OA и OC так, чтобы его нельзя было спутать с соседним.

1. Определим нужные стороны: это лучи OA и OC, а не луч OB.
2. Запишем названия сторон по краям, а вершину O поставим посередине. Получится ∠AOC или ∠COA.
3. Проверим обозначение по чертежу: крайние буквы A и C должны относиться именно к сторонам нужного угла. Запись одной буквой ∠O не подойдёт, потому что из этой вершины выходят три луча и образуются разные углы.

Ответ: ∠AOC или ∠COA.

Задача 3. Точки A, O и C лежат на одной прямой, причём лучи OA и OC направлены в разные стороны. Объяснить, какой угол образуют эти лучи и как его изобразить.

1. Общее начало лучей — точка O, значит, она является вершиной угла.
2. Проверим условие для противоположных лучей: OA и OC лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Следовательно, они противоположны.
3. По определению противоположные лучи образуют развёрнутый угол. На чертеже проводят прямую через A, O и C и выделяют угол дугой у вершины O.

Ответ: лучи OA и OC образуют развёрнутый угол ∠AOC.

Типичные ошибки

Иногда вершину ставят первой или последней в обозначении из трёх букв, например пишут ∠OAB, хотя имеют в виду угол с вершиной O. Так ошибаются, когда читают запись как обычный список точек и не учитывают правило о средней букве. Проверь себя: средняя буква должна совпадать с общим началом сторон. Если это не так, обозначение прочитано неверно.

Обозначение угла одной буквой становится ошибочным, если при вершине нарисовано несколько углов. Его допускают, потому что все эти углы имеют одну и ту же вершину. Сверь запись с чертежом: если из точки выходят дополнительные лучи и между ними отмечено несколько углов, добавь две крайние буквы. Тогда будет понятно, какие стороны имеются в виду.

Стороны угла можно принять за короткие отрезки, которыми они нарисованы. Но сторона — луч, и линия продолжается от вершины в одном направлении, даже если рисунок показывает лишь небольшой её участок. Не делай вывод о конце стороны по длине черты. Проверь, что она начинается в вершине и проходит через обозначенную точку.

Не любые два луча с общей точкой являются противоположными. Такое впечатление может возникнуть, если лучи просто направлены в разные стороны, но не лежат на одной прямой. Для проверки проведи прямую через вершину: обе стороны развёрнутого угла должны лежать на ней и смотреть в разные стороны. Если хотя бы одно условие не выполнено, угол не развёрнутый.

Связь с другими темами

Для определения угла нужны понятия точки, прямой и луча, а также умение обозначать их буквами. Без представления о луче легко принять сторону угла за отрезок с концами, хотя у луча есть только начало и он продолжается в одном направлении. Поэтому сначала научись распознавать на чертеже вершину и лучи. Эти знания помогут правильно читать геометрические записи.

Углы понадобятся, когда ты будешь сравнивать и измерять их, изучать биссектрису и перпендикулярные прямые. Биссектриса связана с углом и его сторонами, а перпендикулярность прямых описывают через углы между ними. Умение обозначить нужный угол позволит точнее рассуждать и объяснять геометрические построения.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало сторон угла — его вершина.
• Лучи, образующие угол, являются его сторонами.
• В обозначении угла из трёх букв буква вершины стоит посередине.
• Одной буквой угол обозначают, только если его нельзя спутать с другими углами при той же вершине.
• Противоположные лучи образуют развёрнутый угол.