§ 3. Сравнение отрезков и углов

Определения и обозначения

Равные отрезки — отрезки, которые при наложении совмещаются. Иначе говоря, их можно расположить один поверх другого так, чтобы совпали оба конца. Это определение помогает устанавливать равенство по длине, а не по тому, как отрезки нарисованы.

Больший и меньший отрезки сравнивают наложением: один конец совмещают, а свободный конец большего отрезка оказывается дальше. Если свободный конец одного отрезка выступает за конец другого, первый отрезок больше, а второй меньше. Так можно сравнить длины, даже когда отрезки направлены по-разному.

Равные углы — углы, которые при наложении совмещаются. Для этого должны совпасть вершины и обе стороны одного угла с соответствующими сторонами другого. Такое сравнение показывает, одинаково ли раскрыты стороны, независимо от их длины на рисунке.

Больший и меньший углы определяют наложением: совмещают вершины и по одной стороне. Если вторая сторона меньшего угла лежит внутри большего, то больший угол содержит меньший; если стороны совпали, углы равны. Это правило нужно, чтобы сравнивать именно раскрытие углов, а не длину изображённых сторон.

Как это устроено

Чтобы сравнить отрезки наложением, выбери по одному концу и совмести их. Затем посмотри на оставшиеся концы: совпадение означает равенство, а выступающий конец показывает больший отрезок. Совмещают именно концы, потому что так расстояние от общей точки до свободных концов становится наглядно сравнить. Если отрезки изображены в разных направлениях, один можно мысленно повернуть, не меняя его длины.

Равенство нельзя надёжно определять только по виду чертежа. При рисовании могли не выдержать точный масштаб, поэтому одинаковые на вид отрезки могут иметь разную длину, а выглядящие по-разному — быть равными. Наложение убирает влияние положения: перенос и поворот не меняют размер отрезка. Если точное наложение невозможно, вывод о равенстве делают по условию или доказательству.

Углы сравнивают в определённом порядке: сначала совмещают вершины, потом одну сторону. После этого сравнивают положение вторых сторон. Если они совпали, углы равны; если одна сторона проходит внутри другого угла, один угол помещается в другом. Совпавшая вершина задаёт общую начальную точку, а общая сторона помогает сравнить раскрытие в одном и том же направлении.

При сравнении углов важно различать внутреннюю и внешнюю области. Внутренняя область — пространство между сторонами угла; если одна сторона общего угла лежит внутри другого, то угол, который она ограничивает вместе с общей стороной, меньше. Угол, внутри которого расположена эта сторона, больше, потому что его раскрытие включает раскрытие меньшего. Так положение сторон подсказывает, где именно находится меньшая часть.

Наложение не обязательно выполнять на бумаге или вырезать фигуры. Можно представить, как один отрезок или угол переносится, поворачивается и совмещается с другим, сохраняя размер и форму. Это мысленное перемещение полезно, когда фигуры расположены далеко друг от друга или смотрят в разные стороны. Главное — не растягивать и не сжимать фигуру во время переноса.

Сравнение отрезков и углов

Сначала выбери строку для нужных фигур, затем выполни указанное совмещение. Признак равенства подскажет, совпадают ли фигуры, а последний столбец поможет определить большую. Для углов следи за тем, какая область находится внутри другой.

Разбор задач

Задача 1

Отрезки AB и CD наложили так, что A совместилась с C. Определите, равны ли отрезки, если B совместилась с D. Здесь нужно выяснить, совпали ли оба конца после наложения. Направление отрезков не мешает сравнению, поскольку при переносе оно может измениться.

1. Запишем, что первые концы совпали: A совместилась с C.
2. По условию после наложения совпали и вторые концы: B совместилась с D.
3. Значит, отрезки AB и CD полностью совместились.

Ответ: отрезки AB и CD равны. Если бы совпал только один конец, этого было бы недостаточно: нужно проверить также свободные концы.

Задача 2

Два отрезка наложили одним концом. Второй конец одного отрезка оказался дальше. Определите, какой отрезок больше, и объясните почему. Общая точка служит началом сравнения: от неё до каждого свободного конца отложена длина соответствующего отрезка. Поэтому положение дальнего конца позволяет сделать вывод.

1. Обозначим общий конец точкой O.
2. Сравним свободные концы: один находится дальше от O, чем другой.
3. Отрезок до дальнего конца имеет большую длину, потому что от общей точки он продолжается дальше.

Ответ: больше тот отрезок, чей свободный конец выступает дальше. Если свободные концы совпали бы, отрезки оказались бы равны.

Задача 3

У углов с общей вершиной одна сторона общая, а вторая сторона одного угла лежит внутри другого. Как соотносятся углы? Общая вершина и сторона уже совмещены, поэтому остаётся посмотреть на положение вторых сторон. Внутреннее положение показывает, что один угол помещается в другой целиком.

1. Считаем общую сторону одной из сторон обоих углов.
2. Вторая сторона одного угла лежит внутри раскрытия другого, а не за его пределами.
3. Следовательно, угол с внутренней второй стороной меньше; угол, который его содержит, больше.

Ответ: угол, лежащий внутри другого, меньше; содержащий его угол больше. Если бы вторые стороны совпали, углы были бы равны.

Типичные ошибки

Считать отрезки равными по внешнему виду. Ошибка возникает потому, что на чертеже они могут казаться одинаковыми. Но рисунок бывает выполнен неточно, поэтому сравни отрезки наложением или опирайся на условие задачи. Проверь, совпадают ли оба конца после совмещения.

Совмещать произвольные точки отрезков. Так можно сместить фигуры неправильно и получить неверное впечатление о длинах. Для сравнения выбери по одному концу каждого отрезка и совмести именно их. Затем сравни свободные концы.

Сравнивать углы без совмещения вершин или сторон. Если вершины или выбранные стороны не совпали, положение вторых сторон не даёт надёжного ответа. Сначала совмести вершины, затем одну сторону и только после этого сравни раскрытие. Проверь, что сравниваешь стороны углов, а не случайные линии рядом.

Считать угол больше из-за более длинных сторон. Длина изображённых сторон может быть разной, но она не определяет величину угла. Ошибку допускают, принимая длину лучей на рисунке за меру раскрытия. Для проверки совмести вершины и одну сторону: сравни, насколько широко расходятся вторые стороны.

Связь с другими темами

Для сравнения нужно знать основные части фигур: у отрезка есть два конца, а у угла — вершина и две стороны. Поэтому сначала полезно уверенно различать отрезок и угол на чертеже. Умение сравнивать их понадобится при измерении и построении геометрических фигур, а также при решении задач на равенство. Оно помогает понять, какие фигуры можно совместить и какие свойства нужно проверять.

Что запомнить

• Равные отрезки при наложении совмещаются.
• Если после совмещения один конец отрезка выступает дальше, этот отрезок больше.
• У равных углов при наложении совмещаются вершины и стороны.
• Для сравнения углов совмещают вершины и по одной стороне.
• По рисунку нельзя надёжно судить о равенстве фигур без условия или доказательства.