10. Треугольник.

Определения и обозначения

Треугольник — фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и соединяющими их отрезками. Например, если точки обозначены A, B и C, то после соединения каждой пары получится треугольник ABC. Это определение помогает отличать треугольник от просто набора точек или отрезков. Для фигуры необходимы и вершины, и все три стороны.

Вершины треугольника — три точки, в которых встречаются его стороны. Их обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B и C. Название треугольника записывают этими буквами: △ABC. Такая запись сразу показывает, какие точки образуют фигуру.

Стороны треугольника — отрезки, соединяющие его вершины. Сторону называют по двум её концам: AB соединяет вершины A и B, BC — B и C, AC — A и C. Благодаря буквам можно точно указать нужный отрезок, даже если рядом рассматривают несколько фигур. У треугольника три стороны.

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если стороны обозначены AB, BC и CA, то P = AB + BC + CA. Чтобы найти периметр, измеряют или используют данные о длинах трёх сторон, а затем складывают их. Результат записывают в тех же единицах длины, что и стороны.

Как это устроено

Для треугольника нужны три точки, не лежащие на одной прямой, потому что именно они задают три разных направления соединяющих отрезков. Если точки расположены на одной прямой, отрезки между ними лежат на этой же прямой. Они не ограничивают замкнутую фигуру и не создают её углов. Поэтому из таких точек треугольник не получится.

Каждая пара вершин задаёт одну сторону: для A, B и C это пары A и B, B и C, A и C. Всего таких пар три, поэтому у треугольника три стороны. При каждой вершине встречаются две стороны, и между ними образуется угол. Так вершины помогают определить не только стороны, но и все три угла фигуры.

Название записывают тремя буквами, потому что каждая буква указывает на одну из вершин. Например, △ABC, △BCA и △CAB обозначают один и тот же треугольник, если речь идёт об одних и тех же точках. Порядок букв можно менять: он не меняет набор вершин. При этом важно не подменить одну из букв другой, иначе будет назван уже другой треугольник.

Периметр показывает, какова общая длина границы треугольника. Его граница состоит из трёх сторон, поэтому для вычисления складывают длины всех трёх отрезков. Если стороны равны 4 см, 6 см и 7 см, то P = 4 + 6 + 7 = 17 см. Единицы измерения сохраняют, потому что складываются длины.

Длина каждой стороны должна быть меньше суммы длин двух других, иначе отрезки не смогут замкнуться в треугольник. Если сумма двух коротких сторон равна самой длинной, они вытянутся в одну прямую; если меньше — до конца длинного отрезка не хватит. Например, для длин 3, 5 и 9 проверяем самое строгое условие: 3 + 5 должно быть больше 9. Оно не выполняется, поэтому треугольник построить нельзя. Проверка двух меньших длин с самой большой достаточна: если она прошла, остальные неравенства тоже выполняются.

Элементы треугольника и их обозначения

Сначала найди на чертеже вершины, а затем по парам букв определи стороны и углы. Обозначения помогают не перепутать элементы, когда в задаче указаны их длины или величины. Запись периметра показывает, какие именно длины нужно сложить.

Разбор задач

Задача 1. Даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Назовите полученный треугольник и его стороны. Чтобы ответить, сначала нужно соединить каждую пару точек. Каждая пара даст один отрезок, а вместе отрезки образуют замкнутую фигуру.

1. Перечисляем три вершины: A, B и C.
2. Записываем название по вершинам: △ABC.
3. Составляем все пары вершин и называем стороны: AB, BC и CA.

Ответ: треугольник ABC; его стороны — AB, BC и CA. Порядок букв в названии можно изменить, если остаются те же вершины. Сторону всегда определяют двумя буквами её концов.

Задача 2. Стороны треугольника равны 4 см, 6 см и 7 см. Найдите периметр. Периметр — это общая длина границы, значит, нужно учесть каждую сторону ровно один раз. Умножать одну длину на три здесь нельзя, так как стороны не равны.

1. Записываем формулу: P = a + b + c.
2. Подставляем известные длины: P = 4 + 6 + 7.
3. Складываем: P = 17 см.

Ответ: 17 см. Единицу измерения указываем после суммы, потому что все исходные длины были даны в сантиметрах. Проверка сложения: 4 + 6 = 10, а 10 + 7 = 17.

Задача 3. Могут ли отрезки длиной 3 см, 5 см и 9 см быть сторонами треугольника? Для построения сумма двух меньших длин должна быть больше самой большой. Проверяем именно это условие: если даже короткие отрезки вместе не достигают нужной длины, треугольник не замкнётся.

1. Находим две меньшие длины: 3 см и 5 см.
2. Складываем их: 3 + 5 = 8 см.
3. Сравниваем с самой большой длиной: 8 см меньше 9 см, значит, условие не выполнено.

Ответ: нет, такие отрезки не могут быть сторонами треугольника. Два коротких отрезка вместе короче самого длинного. Поэтому их нельзя соединить так, чтобы получилась замкнутая треугольная фигура.

Типичные ошибки

• Считать треугольником три точки без соединяющих их отрезков — ошибка: точки лишь задают вершины, но фигуру образуют также её стороны. Так путают элементы чертежа с самой фигурой. Проверь себя: все ли три пары точек соединены отрезками?

• Называть сторону одной буквой вершины или не указывать концы отрезка — значит обозначать её неточно. Ошибка возникает, когда название стороны смешивают с названием вершины. Для проверки запиши две буквы концов: например, сторона между A и B — AB.

• Вычислять периметр как утроенную длину одной стороны можно только тогда, когда все стороны равны. Такое умножение часто выбирают по аналогии с равносторонним треугольником. Проверь данные задачи: если длины различаются, сложи каждую из них по одному разу.

• Проверять условие для одной произвольной пары сторон недостаточно: нужно убедиться, что длина каждой стороны меньше суммы двух остальных. Иначе можно не заметить сторону, которая слишком длинна. Удобная проверка — сложить две самые короткие длины и сравнить результат с самой длинной.

Связь с другими темами

Чтобы понимать чертежи с треугольниками, нужно знать точки, прямые, отрезки, лучи и углы, а также уметь измерять длины отрезков. Периметр треугольника пригодится при изучении многоугольников и в задачах, где находят общую длину границы. Неравенство треугольника используют, чтобы проверить, можно ли построить фигуру по заданным длинам сторон. Так свойства треугольника связывают обозначения, измерения и построения.

Что запомнить

• Треугольник образуют три вершины, не лежащие на одной прямой, и три соединяющих их отрезка.
• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник называют по его вершинам.
• Периметр равен сумме длин трёх сторон.
• Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.