11. Теорема об углах равнобедренного треугольника.

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Например, если AB = AC, то треугольник ABC равнобедренный. Это равенство позволяет определить, какие углы в треугольнике будут одинаковыми, и применять теорему об углах при основании.

Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. В треугольнике ABC с AB = AC боковыми будут AB и AC. Обычно их изображают сходящимися в одной вершине, чтобы было легко увидеть, откуда проводится отрезок к основанию.

Основание треугольника — третья сторона равнобедренного треугольника, не совпадающая с боковыми. Если AB и AC — боковые стороны, то основанием будет BC. Это название помогает отличить сторону, к которой прилегают два равных угла, от равных сторон.

Углы при основании — два угла равнобедренного треугольника, прилежащие к его основанию. Для основания BC это углы B и C: каждый образован основанием и одной боковой стороной. Именно эти углы, а не угол между боковыми сторонами, утверждает равными теорема.

Как это устроено

Чтобы распознать равнобедренный треугольник, сравните длины его сторон. Если две стороны равны, например AB = AC, они становятся боковыми, а оставшаяся сторона BC — основанием. Такой порядок важен: названия углов и формулировка теоремы зависят от того, какая сторона выбрана основанием.

Теорема утверждает: углы при основании равнобедренного треугольника равны. Для треугольника ABC, где AB = AC, это означает ∠B = ∠C. Равенство возникает не из внешнего вида чертежа, а из равенства треугольников, которое можно доказать.

Для доказательства проведём из вершины A медиану AM к основанию BC. Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Значит, M лежит на BC и BM = MC; такое построение позволяет разделить исходный треугольник на два треугольника ABM и ACM.

Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам. Их боковые стороны равны, потому что AB = AC, отрезок AM у них общий, а BM = MC, поскольку M — середина BC. Поэтому у этих треугольников совпадают соответствующие элементы, хотя их положение на чертеже может отличаться.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Угол ABM соответствует углу ACM, а поскольку BM и CM лежат на основании BC, это как раз углы B и C исходного треугольника. Значит, ∠B = ∠C, что и требовалось доказать.

Элементы и свойства равнобедренного треугольника

Сначала по равным сторонам определите вершину и основание, затем соотнесите с ними углы. Если известен угол при вершине, используйте сумму 180° и равенство углов при основании. Таблица показывает, какие сведения даёт теорема, но равенство всех трёх углов из неё не следует.

Разбор задач

В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, а угол B равен 48°. Найти угол C. Условие сразу сообщает, что перед нами равнобедренный треугольник и его основание — BC. Поэтому искомый угол C равен углу B.

1. Сравним стороны: AB = AC, значит, углы при основании BC равны.
2. Запишем равенство углов: ∠C = ∠B.
3. Подставим известную величину: ∠C = 48°.

Ответ: 48°.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Найти углы при основании. Два угла при основании равны, а вместе с углом при вершине они составляют 180°. Поэтому сначала найдём сумму двух равных углов, затем поделим её поровну.

1. Вычтем угол при вершине из суммы углов треугольника: 180° − 40° = 140°.
2. Разделим 140° на два равных угла: 140° : 2 = 70°.
3. Проверим сумму: 40° + 70° + 70° = 180°.

Ответ: каждый угол при основании равен 70°.

Докажите, что в треугольнике ABC, если AB = AC, медиана AM к основанию BC является также биссектрисой угла A. Биссектриса делит угол на две равные части, поэтому достаточно доказать равенство углов BAM и MAC. Медиана даёт равные отрезки основания BM и MC, что позволяет сравнить два треугольника по сторонам.

1. Так как AM — медиана, BM = MC.
2. В треугольниках ABM и ACM равны AB и AC по условию, BM и MC по свойству медианы, а AM — общая сторона.
3. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы BAM и MAC равны.
4. Следовательно, AM делит угол A на две равные части и является его биссектрисой.

Ответ: AM — биссектриса угла A.

Типичные ошибки

Ошибка: основанием называют любую сторону треугольника. Так делают, потому что путают бытовое название стороны с её ролью в равнобедренном треугольнике. Проверка: найдите две равные боковые стороны; только оставшаяся сторона является основанием.

Ошибка: считают равными все три угла. Теорема говорит лишь о двух углах, прилежащих к основанию, а угол между боковыми сторонами может иметь другую величину. Проверка: обозначьте вершину между равными сторонами и отдельно отметьте два угла у основания.

Ошибка: применяют теорему, не установив равенство двух сторон. Внешне треугольник может казаться равнобедренным, но рисунок не доказывает равенство длин. Проверка: найдите в условии равенство сторон или докажите его прежде, чем приравнивать углы при основании.

Ошибка: принимают угол при вершине за угол при основании или находят его без суммы углов. Названия легко перепутать, если не определить, где встречаются боковые стороны. Проверка: угол между боковыми сторонами — при вершине; для его нахождения используйте сумму 180° и равенство двух углов при основании.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать, как обозначают стороны и углы треугольника, что такое равенство треугольников и почему сумма углов треугольника равна 180°. Эти знания позволяют понять доказательство и вычислить неизвестный угол. Теорема пригодится при решении задач на углы и при доказательстве равенства отрезков и углов. Далее свойства равнобедренного треугольника помогут изучать медиану, биссектрису и высоту, проведённые к его основанию.

Что запомнить

• В равнобедренном треугольнике две стороны равны.
• Равные стороны называют боковыми.
• Третью сторону называют основанием.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
• Сумма углов любого треугольника равна 180°.
• Если известен угол при вершине, каждый угол при основании равен половине разности между 180° и углом при вершине.