12. Признак равнобедренного треугольника.

Определения и обозначения

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Например, если в △ABC равны AB и AC, треугольник равнобедренный; это название помогает сразу искать в нём особые связи между сторонами и углами.

Боковые стороны — две равные стороны равнобедренного треугольника. В примере выше это AB и AC; такое название позволяет отличать их от третьей стороны при записи доказательства.

Основание равнобедренного треугольника — третья сторона, не являющаяся боковой. Если боковые стороны AB и AC, то основание — BC; оно лежит напротив вершины, в которой сходятся боковые стороны.

Признак равнобедренного треугольника — утверждение: если два угла треугольника равны, то он равнобедренный. Он нужен, когда в задаче сначала известны углы, а доказать требуется равенство сторон.

Как это устроено

Формулировка признака опирается на соответствие угла и стороны напротив него. Если ∠A = ∠C в △ABC, то против ∠A лежит BC, а против ∠C — AB, поэтому BC = AB. Именно эти две стороны становятся боковыми, а AC — основанием. Стороны нельзя выбирать на глаз: нужно каждый раз определить, какая из них расположена напротив данного угла.

Докажем признак построением. Пусть в △ABC углы B и C равны; проведём биссектрису AD угла A, где D лежит на BC. Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠BAD = ∠DAC. Так мы получаем два треугольника, ABD и ACD, которые можно сравнить.

У этих треугольников AD — общая сторона, углы BAD и DAC равны, а углы ABD и ACD равны по условию. Значит, треугольники ABD и ACD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Это позволяет сопоставить их соответствующие стороны и получить AB = AC.

Равенство именно AB и AC следует из порядка соответствия: вершина B переходит в C, вершина A остаётся на месте, а сторона AB переходит в AC. Эти стороны — боковые стороны исходного △ABC. Следовательно, △ABC равнобедренный; сравнение треугольников объясняет, почему равенство углов приводит к равенству сторон.

У равнобедренного треугольника уже известно обратное утверждение: равные боковые стороны дают равные углы при основании. Признак позволяет пройти путь в другую сторону — от равных углов к равным сторонам. В задачах это удобно: сначала устанавливают равенство углов, а потом используют следствие о сторонах, чтобы продолжить доказательство.

Как равные углы позволяют установить равенство сторон

Сначала найдите, в каком треугольнике равны углы, а затем отметьте стороны напротив них. Если требуется доказать сам признак, проследите, какие треугольники получаются после проведения биссектрисы и какие их стороны соответствуют друг другу.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в △ABC углы A и C равны. Докажите, что треугольник равнобедренный, и укажите его боковые стороны. Чтобы применить признак, нужно сначала сопоставить каждому углу противоположную сторону. Это сразу подскажет, какое равенство сторон требуется получить.

1. По условию ∠A = ∠C.
2. Напротив ∠A лежит BC, а напротив ∠C — AB.
3. По признаку равнобедренного треугольника BC = AB, поэтому △ABC равнобедренный.

Ответ: боковые стороны — AB и BC, основание — AC. Равенство других двух сторон из данного условия не следует.

Задача 2

Условие: в △ABC проведена биссектриса AD, а ∠BAD = ∠ACD. Докажите равенство сторон, которое следует из условия. Здесь важно не применять признак сразу ко всему △ABC: сравниваемые углы относятся к меньшим треугольникам. Выберем △ACD и проверим равенство двух его углов.

1. Так как AD — биссектриса угла A, то ∠BAD = ∠DAC.
2. По условию ∠BAD = ∠ACD, значит, ∠DAC = ∠ACD.
3. В △ACD равным углам DAC и ACD противолежат стороны DC и AD. По признаку равнобедренного треугольника AD = DC.

Ответ: AD = DC. Основанием △ACD является AC, а равные стороны AD и DC — его боковые стороны.

Задача 3

Условие: в △ABC углы B и C равны, D лежит на BC, AD — биссектриса угла A. Докажите AB = AC, а затем — равенство △ABD и △ACD. Сначала применим признак к большому треугольнику, а потом используем полученные равенства для сравнения меньших. Такой порядок делает доказательство понятным и не позволяет подменить один треугольник другим.

1. В △ABC ∠B = ∠C. Против них лежат AC и AB, значит, по признаку AB = AC.
2. AD — биссектриса, поэтому ∠BAD = ∠DAC. Кроме того, AD — общая сторона треугольников ABD и ACD.
3. Получены равные стороны AB = AC, AD = AD и равные углы между ними. Следовательно, △ABD = △ACD по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: AB = AC; треугольники ABD и ACD равны. Здесь признак сначала устанавливает равенство боковых сторон исходного треугольника, а равенство треугольников подтверждается отдельно.

Типичные ошибки

• Ошибка: сопоставлять равные углы со сторонами, которые их образуют. Так делают, потому что стороны и углы расположены рядом, но признак связывает угол со стороной напротив него. Проверка: проведите мысленно линию от вершины угла через треугольник и найдите противоположную сторону.

• Ошибка: утверждать, что равны любые две стороны. Угол задаёт только одну конкретную сторону напротив себя, поэтому произвольный выбор не обоснован. Для проверки назовите оба равных угла и отдельно укажите противолежащие им стороны.

• Ошибка: не указывать, в каком треугольнике равны два угла. При дополнительных построениях углы могут принадлежать разным треугольникам, и признак тогда нельзя применить напрямую. Проверьте, что обе вершины углов и стороны, которые вы сравниваете, входят в один выбранный треугольник.

• Ошибка: провести биссектрису и сразу объявить нужные стороны равными. Равенство углов само по себе не показывает соответствие сторон двух получившихся треугольников. Сначала обоснуйте равенство треугольников, назовите использованный признак и только после этого укажите соответствующие стороны.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, как называются углы треугольника и какая сторона лежит против каждого угла. Пригодится и свойство равнобедренного треугольника: равным сторонам соответствуют равные углы при основании. Признак помогает перейти от углов к сторонам, а затем использовать их равенство при доказательстве равенства отрезков или треугольников. Он также встречается в задачах на построение и вычисление.

Что запомнить

• Признак связывает равенство углов треугольника с равенством его сторон.
• Равным углам противолежат равные стороны.
• Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
• Боковые стороны равнобедренного треугольника лежат напротив равных углов.
• В доказательстве важно указать треугольник, к которому применяется признак.