"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины между равными сторонами к основанию, обладает сразу тремя свойствами: она перпендикулярна основанию, делит его пополам и делит угол при вершине пополам. Поэтому такую высоту можно использовать как медиану и биссектрису. Теорема помогает доказывать равенства отрезков, находить углы и упрощать решения задач о равнобедренных треугольниках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Такое название помогает понять, какие стороны участвуют в теореме: основание лежит напротив вершины между боковыми сторонами.
Основание равнобедренного треугольника — сторона, не равная боковым сторонам. Если боковые стороны обозначены AC и BC, то основание — AB. Это важно для выбора нужной высоты: по теореме рассматривается высота именно к основанию.
Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол. Высота нужна, чтобы разделить треугольник на более простые части, например на прямоугольные треугольники.
Высота к основанию равнобедренного треугольника проводится из вершины между равными сторонами. Для треугольника ABC с основанием AB обозначим такую высоту CD. Буква D указывает точку, где высота встречает основание, и CD ⟂ AB.
Возьмём равнобедренный треугольник ABC с основанием AB, так что AC = BC. Проведём из вершины C высоту CD к основанию: по определению CD перпендикулярна прямой AB. Точка D лежит на этой прямой, поэтому углы ADC и BDC прямые. Высота разделила исходный треугольник на два прямоугольных треугольника.
Сравним треугольники ACD и BCD. Их гипотенузы AC и BC равны, потому что это боковые стороны равнобедренного треугольника, а катет CD у них общий. Два прямоугольных треугольника равны по гипотенузе и катету: если у таких треугольников совпадают гипотенуза и один катет, то совпадают и сами треугольники. Значит, у них равны все соответствующие стороны и углы.
Из равенства треугольников следует AD = DB, поскольку эти отрезки занимают одинаковое положение в треугольниках ACD и BCD. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка D является серединой AB, поэтому CD не только высота, но и медиана.
Равенство треугольников даёт и равенство углов ACD и BCD. Вместе они составляют угол ACB при вершине C, поэтому высота делит его на две равные части. Луч, делящий угол на две равные части, называют биссектрисой; значит, CD является и биссектрисой угла ACB. Получаем теорему: высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, одновременно является медианой и биссектрисой.
Таблица связывает исходные данные с выводами и показывает, на каком основании каждый вывод получен. Пользуйся ею как цепочкой доказательства: от равных боковых сторон и прямых углов переходи к равенству треугольников, а затем — к равенству отрезков и углов.
| Элемент или свойство | Равенство или вывод | Основание вывода |
|---|---|---|
| Боковые стороны | AC = BC | Определение равнобедренного треугольника |
| Прямые углы при основании высоты | ∠ADC = ∠BDC = 90° | CD — высота, CD ⟂ AB |
| Равенство треугольников по обе стороны высоты | △ACD = △BCD | По гипотенузе и катету: AC = BC, CD — общий катет |
| Отрезки основания | AD = DB | Соответствующие стороны равных треугольников |
| Углы при вершине между боковыми сторонами | ∠ACD = ∠BCD | Соответствующие углы равных треугольников |
Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB проведена высота CD. Докажите, что AD = DB. Сначала выделим треугольники, в которых находятся нужные отрезки: AD — в треугольнике ACD, а DB — в BCD. Чтобы доказать равенство этих отрезков, достаточно установить равенство треугольников.
Ответ: AD = DB. Точка D — середина основания, поэтому высота CD является медианой.
Задача 2. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13 см, основание — 10 см. Найдите части основания, на которые его делит высота из вершины между боковыми сторонами. Здесь не нужно находить саму высоту: теорема сразу сообщает, что она делит основание пополам. Значит, нужно разделить известную длину основания на два равных отрезка.
Ответ: 5 см и 5 см.
Задача 3. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 46°. Найдите углы, образованные высотой к основанию с боковыми сторонами. По теореме эта высота является биссектрисой угла при вершине. Поэтому исходный угол надо разделить на две равные части, а не искать углы при основании.
Ответ: 23° и 23°.
Переносят теорему на высоту, проведённую к боковой стороне. Такое случается, если не проверить, какая сторона является основанием и из какой вершины проведена высота. Перед применением теоремы обозначь равные стороны и убедись, что высота идёт из вершины между ними к основанию.
Считают, что высота делит пополам любой угол треугольника. Но равенство частей угла здесь не следует из одного лишь определения высоты: оно получается из равенства двух треугольников в равнобедренном треугольнике. Проверь, есть ли в условии равные боковые стороны и проведена ли высота к основанию.
Называют высоту медианой сразу, не доказывая этого. Высота по определению перпендикулярна стороне, а медиана должна попадать в середину стороны; это разные признаки. Чтобы обосновать вывод, сначала докажи равенство треугольников по обе стороны высоты, а затем запиши равенство частей основания.
Путают основание с вершиной между равными сторонами. Основание — сторона, а высоту к нему проводят из противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике это вершина, где сходятся боковые стороны. Для проверки выпиши боковые стороны и найди сторону, которая не равна им.
Для доказательства нужны определения высоты, медианы и биссектрисы, а также признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Если термины пока непривычны, вспомни: высота перпендикулярна стороне, медиана попадает в её середину, а биссектриса делит угол пополам. Теорема пригодится при доказательстве свойств равнобедренного треугольника и при нахождении углов и отрезков в задачах.
Из какой вершины проводят высоту в этой теореме?
Её проводят из вершины между равными сторонами, то есть к противоположному основанию. Высота должна быть перпендикулярна прямой, содержащей основание.
Почему высота к основанию делит основание пополам?
Высота образует два прямоугольных треугольника с общей стороной и равными гипотенузами — боковыми сторонами исходного треугольника. Эти треугольники равны, поэтому соответствующие части основания тоже равны.
Почему эта высота является биссектрисой?
При равенстве треугольников по обе стороны высоты равны и углы при вершине между высотой и боковыми сторонами. Значит, высота делит исходный угол на две равные части, а это и есть свойство биссектрисы.
Верно ли это свойство для высоты, проведённой к боковой стороне?
Нет, теорема утверждает это только для высоты, проведённой к основанию из вершины между равными сторонами. Высота к боковой стороне в общем случае не является ни медианой, ни биссектрисой.
Какие треугольники сравнивают при доказательстве теоремы?
Сравнивают два прямоугольных треугольника, на которые высота к основанию делит исходный. У них равны гипотенузы — боковые стороны исходного треугольника — и есть общая сторона высоты.
13. Теорема о высоте равнобедренного треугольника.
