"Геометрия", Погорелов А.В.
Обратная теорема получается, когда условие исходной теоремы становится заключением, а заключение — условием. Такая перестановка помогает искать геометрические признаки: например, распознавать равнобедренный треугольник по равным углам. Но обратное утверждение не всегда истинно: из того, что A влечёт B, не следует, что B влечёт A. Поэтому сначала точно выделяют обе части теоремы, а затем отдельно проверяют и доказывают обратное утверждение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Исходная теорема — утверждение вида «если выполнено условие, то верно заключение», для которого рассматривают обратное утверждение. Например, в теореме «если две прямые перпендикулярны, то они пересекаются» условие — перпендикулярность, а заключение — пересечение. Такое разделение нужно, чтобы не перепутать, что дано, а что требуется вывести. Условие обычно обозначают A, заключение — B.
Обратное утверждение — утверждение, полученное из исходной теоремы перестановкой условия и заключения; оно может быть как истинным, так и ложным. Если исходная теорема записана «если A, то B», обратное утверждение звучит «если B, то A». Это не доказательство и не гарантия истинности: новое условие может оказаться недостаточным для вывода. Определение помогает правильно составить утверждение, а его истинность выясняют отдельно.
Обратная теорема — теорема, в которой условие и заключение исходной теоремы меняются местами. Если полученное обратное утверждение удалось доказать, его уже можно использовать как теорему. Например, утверждение о равных углах и равных противоположных сторонах треугольника является обратным к теореме о равных углах при основании равнобедренного треугольника. Термин нужен, чтобы отличать доказанное утверждение от предположения, которое только получилось перестановкой частей.
Чтобы выделить условие и заключение, переформулируйте теорему в виде «если…, то…». Это полезно потому, что в обычной фразе части могут стоять не в очевидном порядке: например, сначала называют свойство, а потом фигуру. Часть после «если» сообщает, что дано, а часть после «то» — что должно следовать. Если не сделать такую запись, можно поменять местами лишь слова, а не весь смысл утверждения.
Чтобы получить обратное утверждение, заключение исходной теоремы сделайте условием, а условие — заключением. Так сохраняются обе исходные части, но меняется направление вывода: вместо A → B получаем B → A. Переставлять их нужно целиком, включая все ограничения и уточнения. Например, нельзя оставить часть условия прежней, если она относится к той же фигуре и важна для смысла теоремы.
Обратное утверждение не обязательно истинно, потому что из того, что A влечёт B, не следует, что B влечёт A. Условие исходной теоремы может быть более строгим, чем её заключение: много разных случаев способны привести к одному результату. Так, перпендикулярные прямые пересекаются, но сам факт пересечения не сообщает, под каким углом они встретились. Поэтому перестановка частей создаёт новое утверждение, которое надо проверить на примерах и доказать или опровергнуть.
Обосновывая обратную теорему, сначала выясните, достаточно ли нового условия, чтобы получить новое заключение. Затем запишите, что дано, и выберите определения, свойства или признак равенства фигур, которые связывают данные с целью. Само исходное утверждение можно применять только в направлении, которое уже доказано; иначе рассуждение будет опираться на то, что ещё требуется установить. Если доказательства нет, а найден контрпример, обратное утверждение не является теоремой.
Чтобы отличить обратную теорему от исходной, сопоставьте их условие и заключение, а не отдельные слова. В обратном утверждении бывшее заключение должно стать условием полностью, а бывшее условие — заключением полностью. Простая замена формулировки синонимами не меняет направления вывода и не создаёт обратную теорему. Такая проверка особенно полезна в длинных геометрических фразах, где условие включает несколько свойств.
| Что сравниваем | Исходная теорема | Обратное утверждение |
|---|---|---|
| Условие | Исходное условие A | Исходное заключение B |
| Заключение | Исходное заключение B | Исходное условие A |
| Направление вывода | От A к B | От B к A |
| Что требуется проверить | Доказана ли исходная теорема | Истинно ли новое утверждение и есть ли его доказательство |
Пользуйтесь таблицей так: впишите условие и заключение исходной теоремы, а затем поменяйте их местами во втором столбце утверждения. Сравните направления вывода, чтобы убедиться, что получилось именно обратное утверждение. После этого проверьте его истинность отдельно: таблица помогает составить утверждение, но не заменяет доказательство.
Условие. Запишите обратное утверждение к теореме: если две прямые перпендикулярны, то они пересекаются. Нужно поменять местами условие и заключение, а затем решить, следует ли перпендикулярность из одного факта пересечения. Для проверки достаточно понять, что именно сообщает новое условие о направлении прямых.
Ответ. Обратное утверждение: «Если две прямые пересекаются, то они перпендикулярны» — ложное. Например, прямые могут пересекаться под углом 60°. Это показывает, почему перестановка условия и заключения не делает новое утверждение автоматически истинным.
Условие. Сформулируйте обратное утверждение к теореме: если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Здесь исходная теорема говорит от свойства сторон к свойству углов. В обратном утверждении надо двигаться от равенства углов к равенству сторон, лежащих напротив них.
Ответ. Если в треугольнике два угла равны, то противоположные им стороны равны. Это утверждение истинно; его доказательство дано в следующей задаче. Равные стороны делают треугольник равнобедренным, поэтому равенство углов позволяет распознать такой треугольник.
Условие. Докажите: если в треугольнике два угла равны, то противоположные им стороны равны. Пусть в треугольнике ABC равны углы A и B; требуется доказать равенство сторон BC и AC, лежащих напротив этих углов. Сравним треугольник ABC с тем же треугольником, записанным в порядке вершин B, A, C.
Ответ. BC = AC, то есть сторонам, лежащим напротив равных углов, соответствуют равные стороны. Доказательство использует признак равенства треугольников, а не предполагаемую истинность обратного утверждения. Поэтому оно обосновывает новую теорему самостоятельно.
Первая ошибка — считать любое обратное утверждение истинным. Так думают, потому что обе части исходной теоремы звучат как связанные свойства, но связь может работать только в одном направлении. Проверьте себя: запишите вывод в виде «если B, то A» и найдите, достаточно ли B; для прямых это видно на примере пересечения под углом, отличным от 90°.
Вторая ошибка — переставлять отдельные слова вместо условия и заключения целиком. Её допускают, когда пытаются составить обратную фразу без разбора смысла теоремы, и в результате теряют важные уточнения. Сначала разделите фразу на части после «если» и «то», затем переставьте части полностью. Сверьте, что новая формулировка содержит ровно те же свойства и ограничения.
Третья ошибка — путать обратное утверждение с противоположным. Названия похожи, но в обратном условие и заключение меняются местами, а в противоположном обе части отрицаются. Чтобы проверить себя, обозначьте условие A и заключение B: обратное имеет вид B → A, а противоположное — «не A → не B». Не называйте утверждение обратным, если в нём только появились отрицания.
Четвёртая ошибка — доказывать обратное утверждение, используя исходную теорему так, будто нужный вывод уже получен. Это круговое рассуждение: доказательство незаметно опирается на собственный результат. Проверяйте каждый шаг и отмечайте, какое известное определение, свойство или ранее доказанная теорема его оправдывает. Если шаг верен только при условии, что обратное утверждение уже истинно, доказательство нужно переделать.
Для работы с обратными теоремами нужно уметь выделять условие и заключение геометрического утверждения: без этого нельзя правильно поменять части местами. При доказательстве теорем о треугольниках пригодятся признаки их равенства, позволяющие перейти от равенства углов и сторон к равенству других соответствующих элементов. Обратные теоремы помогают распознавать фигуры по их свойствам, а затем применять признаки фигур в новых задачах. Поэтому важно отличать уже доказанный признак от утверждения, которое пока лишь кажется верным.
Как правильно составить обратное утверждение к теореме?
Сначала запишите исходную теорему в форме «если…, то…» и отдельно найдите условие и заключение. Затем поменяйте их местами целиком: заключение станет условием, а условие — заключением.
Почему обратное утверждение может оказаться ложным?
Исходная теорема сообщает, что условие достаточно для заключения, но не утверждает обратного. Например, перпендикулярные прямые пересекаются, однако пересекающиеся прямые не обязательно перпендикулярны.
Чем обратная теорема отличается от противоположной?
В обратной теореме условие и заключение меняются местами. В противоположном утверждении отрицаются условие и заключение, а не переставляются; поэтому важно заранее уточнить, какое именно преобразование требуется.
Нужно ли отдельно доказывать обратную теорему?
Да, если обратное утверждение истинно и его хотят использовать как теорему, его доказывают отдельно. Перестановка частей исходного утверждения сама по себе доказательством не является.
Как доказать, что в треугольнике равным углам противолежат равные стороны?
Сравните треугольник с тем же треугольником, у которого соответствующие вершины переставлены. Две пары углов равны, а сторона между ними общая, поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам; соответствующие стороны тоже равны.
24. Обратная теорема
