25. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Если из вершины A треугольника ABC опустить перпендикуляр на прямую BC и получить точку H, то AH — высота, а H — её основание. Высоту называют по вершине, из которой её проводят, например высота из A. По обозначениям AH ⟂ BC сразу видно главное свойство этого отрезка.

Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину с точкой противоположной стороны. Если биссектриса угла A пересекает BC в точке L, то AL — биссектриса треугольника ABC. При этом углы BAL и LAC равны, потому что биссектриса делит угол пополам. Такое обозначение помогает отличить этот отрезок от других линий, проведённых из вершины A.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Если M — середина BC, то AM — медиана треугольника ABC, а BM = MC. Чтобы определить медиану, нужно найти именно середину стороны, а не точку, образующую прямой угол или делящую угол вершины пополам. Обозначение AM показывает, что отрезок идёт из вершины A к середине BC.

Как это устроено

Чтобы построить высоту из вершины A, сначала находят прямую, на которой лежит противоположная сторона BC. Затем через A проводят перпендикуляр к этой прямой и отмечают точку пересечения H. Перпендикуляр строят именно к прямой стороны, потому что она задаёт направление, необходимое для прямого угла. Если H лежит на продолжении BC, отрезок AH всё равно является высотой.

Биссектрису угла A строят так: проводят луч из A внутрь угла, чтобы он разделил его на две равные части. Этот луч пересекает противоположную сторону BC в точке L, поэтому нужный отрезок — AL. Конец биссектрисы оказывается на BC, потому что в определении треугольной биссектрисы рассматривается часть биссектрисы от вершины до противоположной стороны. Равенство углов BAL и LAC служит проверкой правильности построения.

Для построения медианы нужно определить середину противоположной стороны. Например, находят на BC такую точку M, что BM = MC, и соединяют M с вершиной A. Равенство частей означает, что расстояние от M до обоих концов стороны одинаково, а значит, M — её середина. Отрезок AM и есть медиана; прямой угол с BC для такого построения не требуется.

У трёх отрезков разные главные признаки, поэтому проверять их нужно по-разному. Для высоты проверяют перпендикулярность прямой стороны, для биссектрисы — равенство двух углов при вершине, а для медианы — равенство частей противоположной стороны. Одного лишь факта, что отрезок выходит из вершины и достигает противоположной стороны, недостаточно, чтобы назвать его одним из этих отрезков. Сначала выясняют, какое именно свойство выполняется.

Положение высот зависит от вида треугольника. В остроугольном треугольнике все углы меньше прямого, и перпендикуляры из вершин падают на противоположные стороны внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, поскольку катеты уже перпендикулярны друг другу; третья проводится из вершины прямого угла к гипотенузе. В тупоугольном треугольнике высоты из двух острых вершин опираются на продолжения противоположных сторон, так как перпендикуляры к самим отрезкам не попали бы на них.

Высота, биссектриса и медиана треугольника

В таблице сравниваются точка начала, место проведения и свойство каждого отрезка. Буквами в последнем столбце показан пример обозначения для треугольника ABC; другие буквы тоже допустимы, если ясно указаны их значения. Чтобы определить, какой отрезок изображён на чертеже, сопоставьте его с главным свойством, а не только с его видом.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC проведите высоту из вершины A и укажите её основание. Нужно помнить, что высота опускается не обязательно на сам отрезок BC, а на прямую, которая его содержит. Это особенно важно, если треугольник тупоугольный. Обозначим основание перпендикуляра буквой H.

1. Проведём через сторону BC прямую и отметим вершину A, из которой нужна высота. Это позволяет учитывать и саму сторону, и её продолжение. Искомый перпендикуляр должен начинаться в A.
2. Через A проведём перпендикуляр к прямой BC и обозначим точку пересечения H. Полученный отрезок AH перпендикулярен BC. Поэтому AH — высота, а H — её основание.
3. Проверим расположение H относительно отрезка BC. Если H лежит между B и C, основание находится на стороне; если вне этого отрезка — на продолжении. В обоих случаях определение высоты выполнено.

Ответ: высота — AH, основание — H; точка H может лежать на BC или на её продолжении.

Задача 2. Постройте биссектрису угла A треугольника ABC и обозначьте точку её пересечения со стороной BC. По условию требуется разделить именно угол при вершине A. Поэтому строим отрезок от A к BC так, чтобы угол между ним и каждой стороной угла A был одинаковым.

1. Из вершины A проведём луч, лежащий внутри угла BAC и делящий его на две равные части. Это луч биссектрисы угла. Он направлен внутрь треугольника к противоположной стороне.
2. Обозначим точку пересечения луча со стороной BC буквой L. Тогда отрезок AL соединяет вершину A с противоположной стороной. Точка L нужна, чтобы однозначно указать конец отрезка.
3. Проверим построение по углам: ∠BAL = ∠LAC. Равенство подтверждает, что AL является биссектрисой угла A. Никакого равенства BL и LC из этого условия не следует.

Ответ: биссектриса — AL, где L ∈ BC и ∠BAL = ∠LAC.

Задача 3. В треугольнике ABC точка M — середина BC. Докажите, что AM — медиана, и объясните, почему она делит сторону BC на равные части. В условии уже дано ключевое свойство середины: BM = MC. Его достаточно для проверки определения медианы.

1. Запишем, что M лежит на BC и является её серединой. Значит, точка M делит BC на отрезки BM и MC. По определению середины BM = MC.
2. Проведём отрезок AM от вершины A к точке M. Он соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны BC. Это в точности определение медианы.
3. Следовательно, AM — медиана треугольника ABC. Она делит BC на равные части именно потому, что M — середина стороны. Перпендикулярность AM и BC для этого вывода не нужна.

Ответ: AM — медиана, так как BM = MC и M лежит на BC.

Типичные ошибки

Ошибка: считать высотой только отрезок, целиком лежащий внутри треугольника. Так думают, если представляют высоту как обычный отрезок между вершиной и противоположной стороной. В тупоугольном треугольнике основание высоты может находиться на продолжении стороны. Проверьте себя: проведён ли перпендикуляр к прямой стороны, а не только попал ли отрезок внутрь треугольника.

Ошибка: называть высотой любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Такой отрезок может пересечь сторону под наклоном, не образуя прямого угла. Высота должна быть перпендикулярна прямой, содержащей противоположную сторону. Для проверки отметьте прямой угол между отрезком и этой прямой.

Ошибка: путать биссектрису с медианой, считая, что это одно и то же. Причина в том, что обе линии идут из вершины к противоположной стороне, но условия у них разные. Биссектриса делит угол пополам, а медиана делит сторону пополам. Проверьте равенство углов для первой и равенство частей стороны для второй.

Ошибка: полагать, что медиана всегда перпендикулярна стороне или биссектриса обязательно делит сторону пополам. Эти свойства не входят в определения и из них не следуют. Проверить себя просто: для медианы ищите равные отрезки стороны, для биссектрисы — равные углы у вершины. Не приписывайте линии дополнительное свойство без отдельного доказательства.

Связь с другими темами

Чтобы изучать эти отрезки, нужно знать, что такое угол и его биссектриса, перпендикулярные прямые и середина отрезка. Эти понятия дают точные признаки для построения и проверки высоты, биссектрисы и медианы. Знание свойств треугольника помогает понять, где окажется основание высоты в разных случаях.

Высоты, биссектрисы и медианы пригодятся при изучении свойств и построений треугольников. С их помощью удобно делить фигуру на более простые части и находить связи между её элементами. В задачах на доказательство важно назвать нужный отрезок и обосновать его по определению.

Что запомнить

• Высота проводится из вершины перпендикулярно прямой противоположной стороны.
• Высота может лежать вне треугольника.
• Биссектриса делит угол при вершине на два равных угла.
• Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
• В каждом треугольнике можно провести три высоты, три биссектрисы и три медианы.
• Высота, биссектриса и медиана — разные отрезки, определяемые разными свойствами.