"Геометрия", Погорелов А.В.
Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, обладает сразу тремя ролями: она делит основание пополам, угол при вершине — на две равные части и перпендикулярна основанию. Это свойство помогает доказывать равенство треугольников, находить углы и вычислять длины. Главное — не переносить его на медианы, проведённые к боковым сторонам: для них такое совпадение не доказано.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Такое название помогает сразу понять, какие стороны нужно сравнивать в доказательстве свойства медианы.
Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Значит, его конец делит эту сторону на две равные части. Это определение понадобится, чтобы установить равенство двух отрезков основания.
Высота треугольника — отрезок, проведённый из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла; его часть внутри треугольника рассматривают как отрезок. Эти определения помогут назвать роли медианы, когда будет доказано, что она делит угол пополам и образует с основанием прямой угол.
Обозначим равнобедренный треугольник ABC так, чтобы его основанием была BC, а равные боковые стороны — AB и AC. Проведём медиану AM к основанию: точка M лежит на BC. По определению медианы M — середина BC, поэтому BM = MC. Это равенство даёт нам две стороны, которые можно сопоставить в треугольниках по разные стороны от медианы.
Рассмотрим треугольники ABM и ACM. Их стороны AB и AC равны, потому что они боковые стороны равнобедренного треугольника. Отрезки BM и MC равны по определению медианы, а AM — общая сторона этих треугольников. Значит, треугольники равны по трём сторонам, и у них равны соответствующие углы.
Угол BAM соответствует углу MAC: первый расположен между AB и AM, второй — между AM и AC. Равенство треугольников даёт ∠BAM = ∠MAC. Эти два угла составляют угол BAC, поэтому AM делит угол при вершине A пополам. Именно этот угол, заключённый между равными боковыми сторонами, становится разделённым на равные части.
Углы AMB и AMC тоже равны как соответствующие углы равных треугольников. Они лежат по разные стороны от прямой BC и имеют общую сторону AM, поэтому являются смежными: их сумма равна 180°. Два равных угла с такой суммой составляют по 90°. Следовательно, AM перпендикулярна BC и по определению является высотой.
Итак, одна и та же медиана к основанию выполняет три задачи: делит основание пополам, делит угол при вершине пополам и перпендикулярна основанию. Поэтому её называют одновременно медианой, биссектрисой и высотой. Основание важно указать: доказательство опирается на равенство боковых сторон именно при такой разметке треугольника.
| Что рассматриваем | Какое свойство получаем | На чём основано |
|---|---|---|
| Деление угла при вершине | Медиана делит угол между равными сторонами пополам | Равенство треугольников ABM и ACM |
| Угол между медианой и основанием | Медиана перпендикулярна основанию | Равные смежные углы дают по 90° |
| Роль медианы в треугольнике | Она одновременно является биссектрисой и высотой | Определения биссектрисы и высоты |
Сначала найдите в задаче, какая сторона является основанием и к какой стороне проведена медиана. Затем выберите строку таблицы, соответствующую вопросу: о равных частях угла, прямом угле или роли отрезка. В третьем столбце указано, какое доказательство обосновывает нужный вывод.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Докажите, что треугольники ABM и ACM равны. Здесь нужно не использовать уже готовый вывод о равенстве треугольников, а указать отдельно все три пары равных сторон. Именно такой способ называется признаком равенства по трём сторонам.
Ответ: треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам. Из этого можно затем получить равенство соответствующих углов при вершине и у основания. В доказательстве важно назвать основание медианы: без него нельзя обосновать BM = MC.
Задача 2. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 64°. Найдите углы между медианой к основанию и каждой боковой стороной. Медиана делит угол, образованный боковыми сторонами, на две равные части. Поэтому достаточно разделить известную величину угла при вершине на два.
Ответ: каждый из искомых углов равен 32°. Здесь не требуется находить углы при основании: вопрос касается только частей угла при вершине. Проверка проста — два полученных угла в сумме должны дать исходные 64°.
Задача 3. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите длину медианы, проведённой к основанию. По доказанному свойству эта медиана перпендикулярна основанию, а по определению медианы делит его пополам. Значит, можно применить теорему Пифагора в одном из двух прямоугольных треугольников.
Ответ: 12 см. В вычислении роль высоты позволяет считать медиану катетом, а половина основания — второй катет. Если забыть, что медиана перпендикулярна основанию, применять теорему Пифагора к выбранным отрезкам было бы нельзя.
Ошибка: считать, что любая медиана равнобедренного треугольника — высота и биссектриса. Так могут решить, что одного слова «равнобедренный» достаточно для любого направления медианы. Но в доказательстве использовались равные боковые стороны и медиана к основанию. Проверьте, из какой вершины проведён отрезок и где находится его конец.
Ошибка: называть AM медианой, не доказав, что M — середина BC. Путают обозначение отрезка с его определением и забывают про равенство BM и MC. Чтобы проверить себя, сначала запишите, что M принадлежит BC и BM = MC; только после этого используйте слово «медиана».
Ошибка: делить пополам угол при основании. Это происходит, если не различать основание и боковые стороны или считать, что медиана делит любой соседний угол. На самом деле AM делит угол BAC — угол между равными сторонами. Сверьте вершину искомого угла: она должна совпадать с вершиной A, из которой проведена медиана.
Ошибка: объявлять углы AMB и AMC прямыми только потому, что они равны. Равенство само по себе ещё не означает, что угол равен 90°. Нужно также указать, что они смежные и их сумма равна 180°; тогда из равенства следует, что каждый угол составляет половину суммы. Проверьте, присутствуют ли в доказательстве обе эти причины.
Для доказательства нужны определения медианы, высоты, биссектрисы и равнобедренного треугольника, а также признак равенства треугольников по трём сторонам. Если эти понятия знакомы, можно понять, откуда берутся равные углы и перпендикулярность, а не просто запомнить их. Свойство медианы к основанию пригодится в доказательствах о равнобедренных треугольниках и в задачах на углы и длины. В частности, если известны боковая сторона и основание, получившийся прямоугольный треугольник помогает найти высоту по теореме Пифагора.
Почему медиана к основанию равнобедренного треугольника делит угол при вершине пополам?
Треугольники по обе стороны медианы равны по трём сторонам: их боковые стороны равны, половины основания равны, а медиана у них общая. Поэтому соответствующие углы при вершине тоже равны, и медиана делит угол пополам.
Почему такая медиана является высотой?
В равных треугольниках углы между медианой и основанием равны. Они смежные, то есть их сумма равна 180°, поэтому каждый угол прямой. Значит, медиана перпендикулярна основанию и является высотой.
Любая ли медиана равнобедренного треугольника обладает этим свойством?
Нет, свойство относится только к медиане, проведённой из вершины между равными боковыми сторонами к основанию. Для медиан к боковым сторонам оно из равнобедренности не следует.
Какие треугольники нужно сравнить для доказательства свойства?
Сравнивают треугольники, на которые медиана разбивает исходный равнобедренный треугольник. Если основание — BC, а медиана — AM, это треугольники ABM и ACM.
Можно ли найти длину медианы к основанию, если известны стороны равнобедренного треугольника?
Да, если известны длины боковой стороны и основания. Медиана делит основание пополам и перпендикулярна ему, поэтому получается прямоугольный треугольник. Длину медианы можно найти по теореме Пифагора.
26. Свойство медианы равнобедренного треугольника
